Теорема о промежуточном значении: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) |
EmausBot (обсуждение | вклад) м Перемещение 26 интервики-ссылок в Викиданные (d:Q245098) |
||
Строка 61: | Строка 61: | ||
[[Категория:Теоремы|Больцано — Коши]] |
[[Категория:Теоремы|Больцано — Коши]] |
||
[[Категория:Доказательства]] |
[[Категория:Доказательства]] |
||
[[ar:مبرهنة القيمة الوسطية]] |
|||
[[bg:Теорема на Болцано-Вайерщрас (за средната стойност)]] |
|||
[[ca:Teorema del valor intermedi]] |
|||
[[cs:Bolzanova věta]] |
|||
[[da:Mellemværdisætningen]] |
|||
[[de:Zwischenwertsatz]] |
|||
[[en:Intermediate value theorem]] |
|||
[[es:Teorema del valor intermedio]] |
|||
[[fi:Jatkuvien funktioiden väliarvolause]] |
|||
[[fr:Théorème des valeurs intermédiaires]] |
|||
[[gl:Teorema do valor intermedio]] |
|||
[[he:משפט ערך הביניים]] |
|||
[[id:Teorema nilai antara]] |
|||
[[is:Bolzanosetningin]] |
|||
[[it:Teorema dei valori intermedi]] |
|||
[[ja:中間値の定理]] |
|||
[[ka:ბოლცანო-კოშის თეორემა]] |
|||
[[ko:중간값 정리]] |
|||
[[ms:Teorem nilai min]] |
|||
[[nl:Tussenwaardestelling]] |
|||
[[pl:Twierdzenie Darboux]] |
|||
[[pt:Teorema do valor intermediário]] |
|||
[[sv:Bolzanos sats]] |
|||
[[uk:Теорема Больцано-Коші]] |
|||
[[vi:Định lý Bolzano]] |
|||
[[zh:介值定理]] |
Версия от 19:39, 9 апреля 2013
Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция определённая на вещественном интервале принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Формулировка
Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .
Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).
Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции
Поскольку
получим, что
Следствия
- (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть и Тогда такое, что
- В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.
Замечание
- Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.
Обобщение
Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство и функция Пусть и Тогда
В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.
История
Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.