Функция Мёбиуса: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Bopsulai (обсуждение | вклад) м →Свойства и приложения: пунктуация |
Sonic86 (обсуждение | вклад) |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
== Свойства и приложения == |
== Свойства и приложения == |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</math> |
: <math>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</math> |
||
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества |
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества |
||
Строка 22: | Строка 23: | ||
[[#Обращение Мёбиуса|формулы обращения Мёбиуса]]. |
[[#Обращение Мёбиуса|формулы обращения Мёбиуса]]. |
||
* <math>\sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.</math> |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).</math> |
: <math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).</math> |
Версия от 10:08, 12 мая 2013
Функция Мёбиуса — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.
Определение
определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:
- если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
- если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
- если не свободно от квадратов.
По определению также полагают .
Свойства и приложения
- Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство .
- Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю
Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.
- Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением
Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.
Обращение Мёбиуса
Первая формула обращения Мёбиуса
Для арифметических функций и ,
тогда и только тогда, когда
- .
Вторая формула обращения Мёбиуса
Для вещественнозначных функций и , определенных при ,
тогда и только тогда, когда
- .
Здесь сумма интерпретируется как .
См. также
Ссылки
- Виноградов И. М., Основы теории чисел, 9 изд., М., 1981.
- Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |