Ортогональные функции

Две вообще говоря комплекснозначные функции $\varphi _{1}(t)$ и $\varphi _{2}(t)$, принадлежащие пространству Лебега $L_{2}(E)$, где $E$ - измеримое множество называются ортогональными, если

$\int \limits _{E}\!\varphi _{1}(t){\overline {\varphi _{2}(t)}}\,dt=0$

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.

Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом $w$ функции $f$ и $g$, если

$\ \int \limits _{\Omega }\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega =0$

где $\langle f(x),g(x)\rangle$ — скалярное произведение векторов $f(x)$ и $g(x)$ — значений векторнозначных функций $f$ и $g$ в точке $x$, $x$ — точка области $\Omega$, а $d\Omega$ — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных $f(x)$, $g(x)$ скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных $f(x)$, $g(x)$: $\langle f(x),g(x)\rangle ={\bar {f}}(x)g(x)$.

Требование принадлежности функций пространству $L_{2}(E)$ связано с тем, что при $p\neq 2$ пространства $L_{p}(E)$ не образуют евклидова пространвства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример

1. $\sin x$ и $\cos x$ являются ортогональными функциями на интервале $[0,\pi ]$
2. $\sin(2\pi knx$) и $\cos(2\pi knx)$, где $n$ — целое ортогональны на интервале $[0,T],T=1/k$
3. $x$ и $1$ ортогональны на интервале $[-1,1]$

См. также

• Ортогональная система
• Ортогональный базис
• Ряд Фурье