Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ Пусть также $f(a)\neq f(b),$ и без ограничения общности предположим, что $f(a)=A<B=f(b).$ Тогда для любого $C\in [A,B]$ существует $c\in [a,b]$ такое, что $f(c)=C$.

Доказательство

Рассмотрим функцию $\,g(x)=f(x)-C.$ Она непрерывна на отрезке $\,[a,b]$ и $\,g(a)<0$, $\,g(b)>0.$ Покажем, что существует такая точка $\,c\in [a,b]$, что $\,g(c)=0.$ Разделим отрезок $\,[a,b]$ точкой $\,x_{0}$ на два равных по длине отрезка, тогда либо $\,g(x_{0})=0$ и нужная точка $\,c=x_{0}$ найдена, либо $g(x_{0})\neq 0$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция $\,g(x)$ принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок $\,[a_{1},b_{1}]$, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке $\,c$, либо получим последовательность вложенных отрезков $\,[a_{n},b_{n}]$ по длине стремящихся к нулю и таких, что

$\,g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Пусть $\,c$ - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) $\,[a_{n},b_{n}]$, $\,n=1,2,...$ Тогда $c=\lim a_{n}=\lim b_{n},$ и в силу непрерывности функции $\,g(x):$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Поскольку

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

получим, что $\,g(c)=0.$

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},$ и $sign(f(a))\neq sign(f(b)).$ Тогда $\exists c\in (a,b)$ такое, что $f(c)=0.$
• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

Замечание

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция $f\colon X\to \mathbb {R}$, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}}),$ и функция $f\in C(X).$ Пусть $x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ и $y_{1}<y_{2}.$ Тогда

$\forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.$

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу