Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Используемые определения

Мажоранта или верхняя грань (граница) множества $~X$ — число $~a$, такое что $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$.
Миноранта или нижняя грань (граница) множества $~X$ — число $~b$, такое что $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$

Определения

Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$, называется наименьший элемент $M$, который равен или больше всех элементов множества $X$. Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается $\sup X$.

Более формально:

$S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}$ — множество верхних граней $X$, то есть элементов $M$, равных или больших всех элементов $X$

$s=\sup(X)\iff s\in S_{X}\land \forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y.$

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества $X$ упорядоченного множества (или класса) $M$, называется наибольший элемент $M$, который равен или меньше всех элементов множества $X$. Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается $\inf X$.

Замечание

Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли $\sup X$ и $\inf X$ множеству $X$ или нет.

В случае $s=\sup X\in X$, говорят, что $s$ является максимумом $X$, то есть $s=\max _{x\in X}x$.

В случае $i=\inf X\in X$, говорят, что $i$ является минимумом $X$, то есть $i=\min _{x\in X}x$.

Примеры

• На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. $\inf$ такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества $S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in {\mathbb {N}}\right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множество положительных рациональных чисел $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ не имеет точной верхней грани в $\mathbb {Q}$, точная нижняя грань $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$.
• Множество $X=\{x\in {\mathbb {Q}}\mid x^{2}<2\}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в ${\mathbb {Q}}$, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$\sup X={\sqrt {2}}$ и $\inf X=-{\sqrt {2}}$.

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань. То есть существуют $a$ и $b$ такие, что

$b=\sup X{\begin{cases}\forall x,x\in X\Rightarrow x\leqslant b\\\forall b',b'<b\Rightarrow \exists x,x\in X\land x>b'\end{cases}}(1.1)$

$a=\inf X{\begin{cases}\forall x,x\in X\Rightarrow x\geqslant a\\\forall a',a'>a\Rightarrow \exists x,x\in X\land x<a'\end{cases}}(1.2)$

Доказательство

Для множества ограниченного сверху. Пусть ${\tilde {b}}={\tilde {b}}_{0},{\tilde {b}}_{1}\dots {\tilde {b}}_{n}\dots$ — мажоранта множества $~X$, представленная в виде бесконечной десятичной дроби. Множество $~X$ непусто. Запишем все числа $~x$ из $~X$ в виде нормальных десятичных дробей,

$~x=x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots$.

Множество $~X_{0}=\{x_{0}\mid x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots \in X\}$ непусто и ограниченно сверху числом ${\tilde {b_{0}}}$, поэтому существует $~\max X_{0}=b_{0}$.

Множество $~X_{1}$ десятичных чисел вида $~b_{0},b_{1}'$ таких, что среди элементов $~X$ есть число, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения $~b_{0},b_{1}'$, непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует $~X_{1}=b_{0},b_{1}$.

Допустим, что для некоторого номера $~m$ построено десятичное число $b_{0},b_{1}\dots b_{m}$ такое, что

1. существует элемент $x\in X$, представление которого в виде бесконечной десятичной дроби начинается с выражения $b_{0},b_{1}\dots b_{m}$
2. если x — элемент $~X$ с представлением $x=x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots$, то

$x_{0},x_{1}\dots x_{m}\leqslant b_{0},b_{1}\dots b_{m}$.

Обозначим $~X_{m+1}$ множество десятичных чисел вида $b_{0},b_{1}\dots b_{m}b'_{m+1}$, которые служат начальными выражениями для элементов множества $~X$. По определению числа $b_{0},b_{1}\dots b_{m}$ на основании свойства 1 множество $~X_{m+1}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число $b_{0},b_{1}\dots b_{m}b_{m+1}=\max X_{m+1}$, обладающее свойствами 1-2 с заменой $~m$ на $~m+1$, причем появление $~(m+1)$-ого знака после запятой не влияет на величины предшествующих знаков.

На основании принципа индукции для любого $~n$ оказывается определенной цифра $~b_{n}$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

$b\equiv b_{0},b_{1}\dots b_{n}\dots \in \mathbb {R}$

Возьмем произвольное число $x\in X,x=x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots$. По построению числа $b$ для любого номера $n$ выполняется $x_{0},x_{1}\dots x_{n}\leqslant b_{0},b_{1}\dots b_{n}$ и поэтому $x\leqslant b$. Следовательно, выполнена верхняя строчка в правой части соотношения 1.1 (смотри формулировку). Следовательно, $b=\sup X$.

Для множества $~X$, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества $\mathbb {R}$, существует $\sup$.
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества $\mathbb {R}$, существует $\inf$.
• Вещественное число $s$ является $\sup X$ тогда и только тогда, когда
  1. $s$ есть верхняя грань $X$ то есть для всех элементов $x\in X$, $x\leqslant s$.
  2. для любого $\varepsilon >0$ найдётся $x\in X$, такой, что $x+\varepsilon >s$ (то есть к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$)
• Аналогичное утверждение верно для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.