Сфера Римана

Сферу Римана можно представить как плоскость комплексных чисел, обернутую вокруг сферы

Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».

При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве $\mathbb {R} ^{3}$, задаваемая уравнением $x^{2}+y^{2}+z^{2}=z$, со стереографической проекцией в плоскость $Oxy$, отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.

Описание

Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{3}$. Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать $(\xi ,\eta ,\zeta )\in \mathbb {R} ^{3}$. В $\mathbb {R} ^{3}$ рассмотрим сферу $S$, касающуюся плоскости $O\xi \eta$ в точке $(0;0;0)$, с диаметром $1$. Такая сфера задаётся уравнением

$S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$.

Каждой точке плоскости $(\xi ;\eta ;0)\in O\xi \eta$ можно поставить в соответствие точку сферы $M\in S$ следующим образом. Проведём через точку $N=(0;0;1)$ и $(\xi ;\eta ;0)$ прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке $(\xi ;\eta ;0)$. Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в $N$. Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке $N$ не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью $O\xi \eta$ и $S\setminus \{N\}$.

Плоскость $O\xi \eta$ можно отождествить с комплексной плоскостью $\mathbb {C}$, $x+iy=(\xi ,\eta ,0)$. Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение $\tau \colon \mathbb {C} \rightarrow S\setminus \{N\}$. Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество $\mathbb {C}$ ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки $N$. Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через $\infty$. Мы получили биекцию $\pi \colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\rightarrow S$. Множество $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера $S$ — сферой Римана.

Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по $\pi$, операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.

Формальное определение

Сферой Римана называется сфера $S$, задаваемая в пространстве $R^{3}$ уравнением

$S\colon \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$,

вместе с отображением $\pi \colon S\rightarrow \mathbb {C} \cup \{\infty \}$, задаваемым как

$\pi (\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}$

Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.

Координаты

Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:

• аффинная комплексная координата $z$, способная принимать значение $\infty$;
• проективные однородные комплексные координаты $[z_{0}:z_{1}]$;
• трёхмерные вещественные координаты $\xi ,\eta ,\zeta$, связанные уравнением:

$\xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=\zeta$

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

$z={\frac {z_{1}}{z_{0}}}$

$z_{0}:z_{1}=\left[{\begin{matrix}\zeta :(\xi +i\eta )&\Leftarrow \zeta >0\\0:1&\Leftarrow \zeta =0\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta ={\dfrac {z}{1+|z|^{2}}}\\\zeta ={\dfrac {|z|^{2}}{1+|z|^{2}}}\end{matrix}}\right.$

$z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}$

Сферическая метрика

Сфера Римана позволяет ввести на множестве $\mathbb {C}$ иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$

$\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta _{1}^{2}-\zeta _{2}^{2})}}$

Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.

$\rho (z_{1},z_{2})={\frac {|z_{2}-z_{1}|}{{\sqrt {1+|z_{1}|^{2}}}{\sqrt {1+|z_{2}|^{2}}}}}$

Евклидова и сферические метрики эквивалентны на $\mathbb {C}$. Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$

$\rho (z_{1},z_{2})={\sqrt {(\xi _{1}-\xi _{2})^{2}+(\eta _{1}-\eta _{2})^{2}+(\zeta ^{2}-\zeta ^{2})}}$

Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.

$\rho (z,\infty )={\frac {1}{\sqrt {1+|z|^{2}}}}$

Автоморфизмы

Автоморфизмами области $U\subset \mathbb {C} \cup \infty$ называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть

$\left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0$

Дробно-линейное преобразование $f\colon \mathbb {C} \cup \infty \rightarrow \mathbb {C} \cup \infty$ определяется как

$f(z)={\frac {az+c}{bz+d}}$,

достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.

Дробно-линейные отображения на сфере Римана переводят окружности в окружности.

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту $\theta$ отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. $0<\theta <\pi /2$ (см. рис.)

Сфера Блоха

В таком случае верны соотношения:

$z_{0}:z_{1}=\cos \theta :e^{i\varphi }\sin \theta$

$\left\{{\begin{matrix}\xi +i\eta =e^{i\varphi }\sin {2\theta }\\\zeta -1=\cos {2\theta }\end{matrix}}\right.$

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

Ссылки

• Римана сфера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Riemann sphere", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4