Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии $M$ называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

$\omega \colon M\to \left(\wedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes _{M}TM$

$\pi \circ \omega =\imath d$

Операции

• Внутреннее дифференцирование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля $T$ по векторному полю $X$ определяется стандартным образом:

$L_{X}T={\frac {d}{dt}}g^{t}T$

где $g^{t}$ — фазовый поток, соответствующий векторному полю $X$. Эта операция связана с внутренним умножением $\imath _{X}$ дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

$L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}$

то есть

$L_{X}=[\imath _{X},d]$

где $[\cdot ,\cdot ]$ — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы $K$ производная Ли определяется по аналогии:

$L_{K}=[\imath _{K},d]$

Свойства

• $[L_{K},d]=0$

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса $[\cdot ,\cdot ]$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]$, для которой

$[L_{K},L_{F}]=L([K,F])$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру $I$ как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как $[I,I]$. Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры $A$ можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры $A$, посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения $\mu \colon A\otimes A\to A$ суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1).

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) $[\cdot ,\cdot ]^{\wedge }$ двух тангенциальнозначных форм $K$ и $F$ определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма $[K,F]^{\wedge }$, для которой

$[\imath _{K},\imath _{F}]=\imath ([K,F]^{\wedge })$

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм $K\in \Omega ^{k+1}(M,TM)$, $F\in \Omega ^{f+1}(M,TM)$:

$[K,F]^{\wedge }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K$

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в $T^{*}M\otimes TM$.

Литература

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.