Антикоммутативность

Бинарная операция, определённая в кольце, называется антикоммутативной, если в кольце выполняется тождество $x^{2}=0$. Из этого вытекает тождество $xy+yx=0$. Если $2=1+1$ в кольце не является делителем нуля, тогда первое тождество следует из второго, и они равносильны. Но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Алгебры Ли и алгебры Мальцева по определению обладают антикоммутативным умножением.

Градуированная антикоммутативность

Пусть $\Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}$ — градуированная алгебра. Умножение в $\Omega$ называется градуированно антикоммутативным, если для любых элементов $\omega _{m}\in \Omega ^{m}$, $\omega _{k}\in \Omega ^{k}$

$\omega _{m}\omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\omega _{m}=0$

Примеры

• алгебра внешних форм;
• алгебра дифференцирований дифференциальных форм;
• алгебра тангенциальнозначных форм;
• векторное произведение также антикоммутативно;

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Anticommutative (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

См. также

• Коммутативность