Антикоммутативность

Не следует путать с одноимённым свойством магм — систем с бинарной операцией, в которых ни одна из пар различающихся элементов не коммутирует.

Антикоммутативность — свойство мультипликативной бинарной операции в кольце: $x^{2}=x\cdot x=0$.

Из определения вытекает тождество $x\cdot y+y\cdot x=0$, так как выражение $(x+y)\cdot (x+y)$ равно:

${\begin{aligned}0&=x\cdot (x+y)+y\cdot (x+y)=\\&=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=\\&=x\cdot y+y\cdot x\\\end{aligned}}$

Если $2=1+1$ в кольце не является делителем нуля, тогда тождество $x\cdot x=0$ само следует из $x\cdot y+y\cdot x=0$ и они оказываются равносильны; но в общем случае это не так (например, в алгебрах над полем характеристики 2 первое тождество сильнее второго).

Понятие возникло в связи с алгебрами Ли, в которых умножение удовлетворяет тождеству $x\cdot y=-y\cdot x$ (как и $x^{2}=0$). Классический пример антикоммутативной операции — векторное произведение, для которого $x\times y=-y\times x$ (в отличие от коммутативного скалярного произведения).

Некоторые антикоммутативные алгебры: алгебры Мальцева, алгебра внешних форм, алгебра дифференцирований дифференциальных форм, алгебра тангенциальнозначных форм.

Умножение в градуированной алгебре $\Omega =\oplus _{i}\Omega ^{i}$ называется градуированно антикоммутативным, если для любых элементов $\omega _{m}\in \Omega ^{m}$, $\omega _{k}\in \Omega ^{k}$ выполнено:

$\omega _{m}\cdot \omega _{k}+(-1)^{mk+1}\omega _{k}\cdot \omega _{m}=0$.

Литература

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.