Производная Ли

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Производная Ли тензорного поля по направлению векторного поля  — главная линейная часть приращения тензорного поля при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем .

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается .

Определения[править | править вики-текст]

Аксиоматическое[править | править вики-текст]

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

  • Производная Ли от скалярного поля есть производная по направлению .
  • Производная Ли от векторного поля есть скобка Ли векторных полей. (Производная Ли от поля по направлению поля ).
  • Для произвольных векторных полей 1-формы выполняется равенство
  • (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T, выполняется

Через поток[править | править вики-текст]

Пусть  — -мерное гладкое многообразие и  — векторное поле на .

Рассмотрим поток по , определяемый соотношениями

.

Обратное отображение к дифференциалу ,

однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры тензоров над в алгебру тензоров над . Таким образом произвольное тензорное поле , определяет однопараметрическое семейство полей . Производная Ли может быть определена как

Выражения в координатах[править | править вики-текст]

, где  — скаляр.

, где  — вектор, а  — его компоненты.

, где  — 1-форма, а  — её компоненты.

, где  — метрический тензор, а  — его компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере[править | править вики-текст]

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере , тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

,

где , и введены следующие обозначения:

,

 — объект неголономности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • -линейно по и по . Здесь  — произвольное тензорное поле.
  • Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
  • На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
  • Пусть и  — векторные поля на многообразии, тогда
есть дифференцирование алгебры , поэтому существует векторное поле , называемое скобкой Ли векторных полей (также их скобкой Пуассона или коммутатор), для которого
  • Формула гомотопии (тождество Картана): . Здесь — дифференциальная -форма,  — оператор внутреннего дифференцирования форм, определяемый как .
  • Как следствие,
  • . Здесь  — гладкое сечение (естественного) векторного расслоения (например, любое тензорное поле),  — поднятие векторного поля на ,  — оператор вертикального проектирования на . (См. далее)

Физический смысл производной Ли[править | править вики-текст]

Пусть векторное поле есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства в каждый момент времени определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения[править | править вики-текст]

Естественные расслоения[править | править вики-текст]

Пусть  — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: . Произвольное векторное поле порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов , продолжающуюся с помощью на пространство расслоения , то есть . Производная этой группы в нуле даёт векторное поле , являющееся продолжением . Группа также позволяет определить производную Ли по от произвольных сечений по такой же формуле, как и в классическом случае:

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения , то есть ядра отображения , так как . Если  — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм . Оператор вертикального проектирования позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

Производная Ли по формам[править | править вики-текст]

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид , где  — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования определяется по формуле

Здесь  — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме определяется через суперкоммутатор операторов:

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование супералгебры однозначно представимо в виде , где ,  — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
  • Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351.

См. также[править | править вики-текст]