Центральная симметрия

Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через $Z_{A}$, в то время как обозначение $S_{A}$ можно перепутать с осевой симметрией. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

Векторная запись

• Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором ${\vec {r_{A}}}$, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором ${\vec {x}}$. Тогда имеет место следующая формула:

  $G({\vec {x}})=2{\vec {r_{A}}}-{\vec {x}}$

Связанные определения

• Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки $A$, то $A$ называют центром симметрии этой фигуры, а сама фигура называется центрально-симметричной.

Свойства

Композиция двух центральных симметрий.

• Центральная симметрия является движением (изометрией).

• В n-мерном пространстве если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей, то R - центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
  • В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.

• Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 ($H_{A}^{-1}$).

• Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:

  $Z_{A}\circ Z_{B}=T_{2{\vec {AB}}}$

• В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

• На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A ($R_{A}^{180}$). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

• Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

• В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.

• У центрально-симметричной фигуры, либо один центр симметрии, либо их бесконечно много.

См. также

• Осевая симметрия
• Зеркальная симметрия
• Преобразования плоскости
• Радиальная симметрия

Литература

• Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Селиванов Д. Ф. Центр, в геометрии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.