Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции - Характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ₁,ξ₂,...,ξ_k) - случайный вектор из R^k, тогда коэффициент множественной корреляции $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}$ между ξ₁ и ξ₂,...,ξ_k численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ₁ и её наилучшей линейной аппроксимацией $M(\xi _{1}|\xi _{2},\ldots ,\xi _{k})$ по переменным ξ₂...,ξ_k, которая представляет собой линейную регрессию ξ₁ на ξ₂,...,ξ_k.

Свойства

Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии

$M\xi _{1}=M\xi _{2}=\ldots =M\xi _{k}=0$ когда $\xi _{1}^{*}=\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}$ - это регрессия ξ₁ на ξ₂,...,ξ_k,

среди всех линейных комбинаций переменных ξ₂,...,ξ_k переменная ξ₁ будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ₁^*, совпадающий с $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}$. В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем канонического коэффициента корреляции. При k = 2 множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции ρ₁₂ между ξ₁ и ξ₂.

Вычисление

Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы $\mathbf {R} =\left\{\rho _{i,j}\right\},i,j=1,\ldots ,k$ по формуле

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=1-{\frac {\left\vert R\right\vert }{R_{11}}}$,

где $\left\vert R\right\vert$ - это определитель корреляционной матрицы, а $R_{11}$ - это алгебраическое дополнение элемента ρ₁₁ = 1; здесь $0\leqslant \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}\leqslant 1$. Если $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=1$, тогда с вероятностью 1 значения ξ₁ совпадают с линейной комбинацией ξ₂,...,ξ_k, следовательно, совместное распределение ξ₁,ξ₂,...,ξ_k лежит на гиперплоскости в пространстве R^k. С другой стороны, при $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=0$ все парные коэффициенты корреляции ρ₁₂ = ρ₁₃ = ... = ρ_1k = 0 равны нулю, следовательно, значения ξ₁ не коррелируют с величинами ξ₂,...,ξ_k. Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле

$\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=1-{\frac {\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}$,

где $\sigma _{1}^{2}$ - это дисперсия ξ₁, а $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=M(\xi _{1}-(\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}))^{2}$ - дисперсия ξ₁ относительно регрессии.

Выборочный множественный коэффициент корреляции

Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}={\sqrt {1-{\frac {s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}{s_{1}^{2}}}}}$, где $s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$ и $s_{1}^{2}$ - это оценки для $\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}$ и $\sigma _{1}^{2}$, полученные по выборке объема n. Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}$. При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения, величина $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$ будет обладать бета-распределением с параметрами ${\frac {k-1}{2}},{\frac {n-k}{2}}$, если $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=0$. Для случая $\rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}\neq 0$ тип распределения $r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}$ известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.

См. также

• Коэффициент детерминации

Литература

• Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
• Кендалл М., Стьюард А., Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.