Решётка (геометрия): различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
к разделению
Материал, касающийся решёток в группах Ли, перенесён в статью Решётка в группе. Оставшееся перетряхнуто, кое-что добавлено.
Строка 1: Строка 1:
{{К разделению|2020-01-11|[[Решётка (группа Ли)]], [[Решётка (свободная коммутативная группа)]], [[Евклидова решётка]]}}
{{К разделению|2020-01-11|[[Решётка (группа Ли)]], [[Решётка (свободная коммутативная группа)]], [[Евклидова решётка]]}}
{{Значения|Решётка}}
{{Значения|Решётка}}
'''Решётка''' — набор векторов [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\R^n</math>, образующий дискретную [[Группа (математика)|группу]] по сложению.
'''Решётка''' в [[теория групп|теории групп]] может иметь два значения:
⚫
Близкое, практически равносильное определение решётки — абстрактная свободная [[абелева группа]] конечного ранга (то есть изоморфная <math>\Z^m</math>) с положительно определённой [[билинейная форма|билинейной формой]] на ней.
* Дискретная подгруппа в [[группа Ли|группе Ли]], факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле [[мера Хаара|меры Хаара]]. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
⚫
* Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная <math>\Z^n</math>) с [[билинейная форма|билинейной формой]] на ней.


⚫
== Связанные понятия ==
== Решётки в евклидовом пространстве ==
В случае <math>\R^n</math>, решётки — это дискретные абелевы подгруппы максимального ранга, то есть подгруппы, имеющие вид
: <math>
\Gamma=\Z^n =\Z v_1+\dots+ \Z v_n,
</math>
где вектора <math>v_1,\dots,v_n\in R^n</math> линейно независимы. Оба понятия решётки, определённые выше — обобщение этого (это частный случай второго из данных выше определений, возникающий, когда соответствующая билинейная форма положительно определена).

⚫
=== Связанные понятия ===
'''Определителем''' решётки называется определитель матрицы, составленной из координат порождающих её (''базисных'') векторов <math>v_i</math>.
'''Определителем''' решётки называется определитель матрицы, составленной из координат порождающих её (''базисных'') векторов <math>v_i</math>.


Строка 20: Строка 12:
\forall u,v\in\Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z.
\forall u,v\in\Gamma \quad \langle u,v\rangle \in\Z.
</math>
</math>
* '''Чётной''', если норма<ref>В теории решёток в евклидовом пространстве, принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.</ref> любого её вектора чётная:
* '''Чётной''', если норма<ref>В теории решёток в евклидовом пространстве принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.</ref> любого её вектора чётная:
: <math>
: <math>
\forall v\in\Gamma \quad \langle v,v\rangle \in\Z.
\forall v\in\Gamma \quad \langle v,v\rangle \in\Z.
Строка 32: Строка 24:


Решётка называется '''самодвойственной''', если она совпадает с двойственной к себе.
Решётка называется '''самодвойственной''', если она совпадает с двойственной к себе.

'''{{якорь2|Подрешётка}}''' — подгруппа решётки.

Можно определить объект, аналогичный решётке, в [[Аффинное пространство|аффинном пространстве]] — аффинную решётку.


В физике решётки в трёхмерном пространстве, классифицированные по их симметриям, называют [[Решётки Браве|решётками Браве]].
В физике решётки в трёхмерном пространстве, классифицированные по их симметриям, называют [[Решётки Браве|решётками Браве]].


=== Свойства ===
== Свойства ==
* Если решётка <math>\Gamma</math> целая, то <math>\Gamma\subset \Gamma^{\perp}</math>.
* Если решётка <math>\Gamma</math> целая, то <math>\Gamma\subset \Gamma^{\perp}</math>.
* Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
* Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
Строка 42: Строка 38:
<!-- TODO: Тау-функция чётной унимодулярной решётки — модулярная форма соответствующей степени. -->
<!-- TODO: Тау-функция чётной унимодулярной решётки — модулярная форма соответствующей степени. -->


== Примеры ==
== Решётки в SL(2,R) ==
* [[Целочисленная решётка]], в частности, [[квадратная решётка]]
В случае группы Ли <math>SL(2,\R)</math>, решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы <math>SL(2,\Z)\subset SL(2,\R)</math> объём фактора по ней конечен, однако <math>SL(2,\Z)</math> не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).
* [[Шестиугольная решётка]]
<!-- TODO: по-хорошему, здесь же правильно для <math>SL(2,\R)</math> поговорить про связь с римановыми поверхностями, орбифолдами, и т. д. -->
* [[Решётка E8]]
* [[Решётка Лича]]

== Применения ==
С решётками связаны различные геометрические задачи, такие как [[плотная упаковка равных сфер]]. Также на решётках основываются коды для [[Помехоустойчивое кодирование|помехоустойчивого кодирования]].

== Обобщения ==
* Если связанная с решёткой билинейная форма не является положительно определённой, то в результате получается решётка в [[Псевдоевклидово пространство|псевдоевклидовом пространстве]].
* Решётка максимального ранга в <math>\R^n</math> имеет [[Фундаментальная область|фундаментальную область]] конечного объёма. В теории групп Ли и некоторых других областях [[Решётка в группе|решёткой]] в группе <math>G</math> называют дискретную подгруппу, объём факторпространства группы <math>G</math> по которой конечен, что обобщает это свойство.


== Примечания ==
== Примечания ==
Строка 51: Строка 56:
== Литература ==
== Литература ==
* Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990.
* Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990.
* {{публикация|книга|автор=Jacques Martinet|заглавие=Perfect Lattices in Euclidean Spaces|издательство=Springer|год=2003|isbn=978-3-642-07921-4|doi=10.1007/978-3-662-05167-2|ref=Martinet}}


{{rq|refless|empty|img}}
{{rq|refless|img}}


[[Категория:Геометрия чисел]]
[[Категория:Геометрия чисел]]

Версия от 18:41, 14 апреля 2020

У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка.

Решётка — набор векторов евклидова пространства , образующий дискретную группу по сложению. Близкое, практически равносильное определение решётки — абстрактная свободная абелева группа конечного ранга (то есть изоморфная ) с положительно определённой билинейной формой на ней.

Связанные понятия

Определителем решётки называется определитель матрицы, составленной из координат порождающих её (базисных) векторов .

Решётка называется:

  • Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:
  • Чётной, если норма[1] любого её вектора чётная:
  • Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке называется решётка , определённая как

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Подрешётка — подгруппа решётки.

Можно определить объект, аналогичный решётке, в аффинном пространстве — аффинную решётку.

В физике решётки в трёхмерном пространстве, классифицированные по их симметриям, называют решётками Браве.

Свойства

  • Если решётка целая, то .
  • Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
  • Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
  • Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Примеры

Применения

С решётками связаны различные геометрические задачи, такие как плотная упаковка равных сфер. Также на решётках основываются коды для помехоустойчивого кодирования.

Обобщения

  • Если связанная с решёткой билинейная форма не является положительно определённой, то в результате получается решётка в псевдоевклидовом пространстве.
  • Решётка максимального ранга в имеет фундаментальную область конечного объёма. В теории групп Ли и некоторых других областях решёткой в группе называют дискретную подгруппу, объём факторпространства группы по которой конечен, что обобщает это свойство.

Примечания

  1. ↑ В теории решёток в евклидовом пространстве принято называть нормой не длину вектора, а её квадрат.

Литература

  • Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990.
  • Jacques Martinet. Perfect Lattices in Euclidean Spaces. — Springer, 2003. — ISBN 978-3-642-07921-4. — doi:10.1007/978-3-662-05167-2.
Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Решётка_(геометрия)&oldid=106350162