Аффинное пространство

Аффинное пространство — служит обобщением аффинных свойств евклидова пространства. Во многом схоже с векторным пространством, но в отличие от последнего, точки в аффинном пространстве являются равноправными. В частности в аффинном пространстве нет понятия нулевой точки или начала отсчёта. В аффинном пространстве возможно вычитать друг из друга точки и получать векторы так называемого присоединенного пространства; также возможно прибавлять вектор к точке и получать другую точку, но нельзя складывать точки друг с другом.

Определение

Аффинное пространство над полем $\mathbb{K}$ — множество $A$ со свободным транзитивным действием аддитивной группы векторного пространства $V$ над полем $\mathbb{K}$.

Если поле $\mathbb{K}$ не указывается, то предполагается поле вещественных чисел.

• Элементы $A$ называются точками аффинного пространства
• Пространство $V$ называется пространством присоединенным к $A$
• Образ действия $v\in V$ на $a\in A$ обозначается $a + v$

• Для двух точек $x,y\in A$ через $\overrightarrow{xy}$ обозначается такой вектор из $V$, что $y=x+\overrightarrow{xy}$
• Размерность пространства $A$ определяется равной размерности присоединенного пространства $V$.

Обобщения

• Аналогичным образом определяется аффинное пространство над телом.

См. также

• Аффинное подпространство
• Флаг (математика)

Литература

• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.