Атом (теория меры)

В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение

Если есть измеримое пространство $(X,\Sigma )$ и мера $\mu$ на этом пространстве, то множество $A$ in $\Sigma$ называется атомом, если

$\mu (A)>0\,$

и для любого измеримого подмножества $B$ множества $A$ из

$\mu (A)>\mu (B)\,$

следует, что

$\mu (B)=0.$

Примеры

• Рассмотрим множество X={1, 2, ..., 9, 10} и пусть сигма-алгебра $\Sigma$ есть множество всех подмножеств X. Определим меру $\mu$ множества как его мощность, т.е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i=1,2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные меры

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества $A$ с $\mu (A)>0$ существует такое измеримое подмножество B множества A, что

$\mu (A)>\mu (B)>0.\,$

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой $\mu (A)>0$ можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

$A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots$

такую, что

$\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.$

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с $\mu (A)>0,$ то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

$\mu (A)\geq b\geq 0\,$

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

$\mu (B)=b.\,$

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Ссылки

• Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Real analysis. — Upper Saddle River, N.J. : Prentice-Hall, 1997. — P. 108. — ISBN 0-13-458886-X.

• Butnariu, Dan; Klement, E. P. Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions. — Dordrecht : Kluwer Academic, 1993. — P. 87. — ISBN 0-7923-2369-6.