Теорема Больцано — Коши

Теоре́ма Больца́но — Коши́ о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии — это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Формулировка

Пусть дана непрерывная функция на отрезке $f\in C\bigl([a,b]\bigr).$ Пусть также $f(a) \neq f(b),$ и без ограничения общности предположим, что $f(a) = A < B = f(b).$ Тогда для любого $C \in [A,B]$ существует $c\in [a,b]$ такое, что $f(c)=C$.

Доказательство  

Рассмотрим функцию $\,g(x)=f(x)-C.$ Она непрерывна на отрезке $\,[a,b]$ и $\,g(a)<0$, $\,g(b)>0.$ Покажем, что существует такая точка $\,c\in [a,b]$, что $\,g(c)=0.$ Разделим отрезок $\,[a,b]$ точкой $\,x_0$ на два равных по длине отрезка, тогда либо $\,g(x_0)=0$ и нужная точка $\,c=x_0$ найдена, либо $g(x_0)\neq 0$ и тогда на концах одного из полученных промежутков функция $\,g(x)$ принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок $\,[a_1,b_1]$, разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке $\,c$, либо получим последовательность вложенных отрезков $\,[a_n,b_n]$ по длине стремящихся к нулю и таких, что

$\,g(a_n)<0<g(b_n).$

Пусть $\,c$ - общая точка всех отрезков $\,[a_n,b_n]$, $\,n=1,2,...$ Тогда $c=\lim a_n=\lim b_n,$ и в силу непрерывности функции $\,g(x):$

$g(c)=\lim g(a_n)=\lim g(b_n).$

Поскольку

$\lim g(a_n)\le 0\le \lim g(b_n),$

получим, что $\,g(c)=0.$

Следствия

• (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция принимает в концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю. Более точно пусть $f\in C\bigl([a,b]\bigr),$ и $f(a)f(b) < 0.$ Тогда $\exists c \in (a,b)$ такое, что $f(c) = 0.$
• В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

Замечание

• Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно. На самом деле они эквивалентны.

Обобщение

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция $f\colon X\to\R$, определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Более точно пусть дано связное топологическое пространство $(X,\mathcal{T}),$ и функция $f\in C(X).$ Пусть $x_1,x_2\in X,\; f(x_1) = y_1,\; f(x_2) = y_2,$ и $y_1 < y_2.$ Тогда

$\forall y \in [y_1,y_2]\; \exists x\in X\; f(x) = y.$

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

История

Теорема Больцано — Коши была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. также

• Теорема Вейерштрасса
• Свойство Дарбу