Постоянная Глейшера — Кинкелина

Постоя́нная Глейшера—Кинкелина (англ. Glaisher–Kinkelin constant) в математике — это вещественное число, обозначаемое A, которое связано с K-функцией и G-функцией Барнса, а также может быть выражено через значение производной дзета-функции Римана $\zeta '(-1)$,

$A=\exp \left({\textstyle {\frac {1}{2}}}-\zeta '(-1)\right)$.

Эта постоянная возникает в различных суммах и интегралах — в особенности в тех, где присутствует гамма-функция или дзета-функция Римана.

Численное значение постоянной Глейшера—Кинкелина выражается бесконечной десятичной дробью

A = 1,282 427 129 100 622 636 875 342 568 869 791 727 767 688 927 … (последовательность A074962 в OEIS)

Она была названа в честь английского математика Джеймса Уитбреда Ли Глейшера (James Whitbread Lee Glaisher, 1848—1928) и немецкого математика Германа Кинкелина (Hermann Kinkelin, 1832—1913).

Представления через K-функцию и G-функцию Барнса

K-функция для целых значений аргумента может быть представлена как

$K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}$

Она связана с G-функцией Барнса, которая для целых значений аргумента может быть представлена как

$G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}$

Постоянная Глейшера—Кинкелина A может быть определена как предел

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}$

или, соответственно,

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}$,

где $\Gamma (n)$ — гамма-функция, $\Gamma (n)=(n-1)!$.

Связь с дзета-функцией Римана

Постоянная Глейшера—Кинкелина A связана с производной дзета-функции Римана при целых значениях аргумента, в частности,

$\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A$

$\zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left(\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\right)$

где $\gamma$ — постоянная Эйлера—Маскерони.

Некоторые интегралы и суммы

Постоянная Глейшера—Кинкелина появляется в некоторых определённых интегралах,

$\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi$,

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A$

Также существует представление в виде суммы, которое следует из представления для дзета-функции Римана, полученного Гельмутом Хассе (Helmut Hasse),

$\ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)$,

где ${\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {(n)!}{k!(n-k)!}}}$ — биномиальный коэффициент.

Ссылки

• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". Ramanujan Journal. 16 (3): 247—270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. (Provides a variety of relationships.)
• Weisstein, Eric W. Glaisher–Kinkelin Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.