Теория Купмана — фон Неймана

Теорией Купмана — фон Неймана (KvN — теорией) в математической физике называется оригинальная перформулировка классической статистической механики, созданная американскими математиками Джоном фон Нейманом и Бернардом Осгудом Купманом. Формализм механики Купмана — фон Неймана максимально приближен к формализму нерелятивистской квантовой механики: состояние динамической системы в ней описывается при помощи классической волновой функции, являющейся аналогом квантовомеханической волновой функции, классическое уравнение Лиувилля приобретает математическую структуру уравнения Шредингера и т. д.

Идеологически KvN — теория диаметрально противоположна представлению Вигнера, в котором сходная идея унификации математического аппарата классической статистической и квантовой физики достигается наоборот путем преобразования волновой функции, которая появляется в уравнении Шрёдингера, в функцию Вигнера, определенную в классическом фазовом пространстве. Знаменательно, что обе эти теории были созданы практически одновременно - в 1931—1932 годах.

История создания

Истоки KvN — теории тесно вплетены в историю возникновения эргодической теории как самостоятельного раздела математики. К началу 1931 года серьезной проблемой теоретической физики оставалось отсутствие приемлемого математического обоснования эргодической гипотезы, сформулированной Л. Больцманом еще в 1887 году. Это, в частности, мешало последовательно вывести законы термодинамики газов исходя из микроскопической картины движения большого ансамбля молекул согласно законам Ньютоновской механики.

Прямой предпосылкой к решению проблемы может считаться работа 1930 года американского математика Маршала Харви Стоуна по спектральной теории однопараметрических групп унитарных операторов. Уже в следующем году была опуликована ключевая работа Купмана, который, заметил что фазовое пространство классической системы, эволюционирующей в соответствии со стандартными законами классической механики, может быть преобразовано в гильбертово пространство путем постулирования естественного правила интегрирования по точкам фазового пространства в качестве определения скалярного произведения. Замечательно, что эволюция физических переменных при этом начинает описываться унитарными операторами, образующими однопараметрическую группу, для которой справедливы результаты Стоуна. Такое операторное представление классической механики, будучи в то время совершенно новой идеей, побудило фон Неймана, одного из основателей квантовой механики и ведущего эксперта в теории операторов, попробовать применить теоретико-операторный подход к решению эргодической проблемы. Отталкиваясь от результатов Купмана и Вейля, им было завершено создание операторного формализма классической механики, ныне известного как теория Купмана — фон Неймана, и уже в 1932 году была опубликована серия работ, ставших основополагающими для современной эргодической теории, в которых, в частности, была доказана знаменитая статистическая эргодическая теорема. Любопытно, что в этом же году им была опубликована также книга "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics", которая вошла в историю как первое полное, строгое и систематическое изложение квантовой механики на современном языке гильбертовых пространств.

Основные положения и свойства

Отправной точкой KvN — теории является введение гильбертова пространства комплекснозначных и квадратично интегрируемых функций $\Psi (t,p,q)$ координат $q$ и импульсов $p$, оснащённого следующим скалярным произведением:

$\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle {=}\int _{p}\int _{q}\Psi _{1}^{*}(t)\Psi _{2}(t)dqdp$,

(1)

где звёздочка означает комплексное сопряжение (для достижения наиболее наглядной аналогии с квантовой механикой здесь и далее для обозначения элементов гильбертова пространства будет применяться алгебраический формализм Дирака). Квадрат модуля таких функций постулируется равным классической плотности вероятности $\rho (p,q,t)$ нахождения частицы в заданной точке $(p,q)$ фазового пространства в момент времени $t$:

$\rho (t,p,q){=}|\Psi (t,p,q)|^{2}$.

(2)

Из данного постулата и определения (1) помимо условия нормировки $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle {=}1$ следует, что среднее значение $\langle X\rangle$ произвольной физической величины $X$, заданной действительной функцией $X(p,q)$ может быть найдено по формуле:

$\langle X\rangle (t){=}\langle \Psi (t)|{\hat {X}}\Psi (t)\rangle {=}\langle \Psi (t){\hat {X}}|\Psi (t)\rangle {=}\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle$,

(3)

которая формально совпадает с аналогичным выражением Шрёдингеровской квантовой механики (смысл крышечки над $X$ будет раскрыт ниже). Это делает правомерным присвоить функции $\Psi (t,p,q)$ название классической волновой функции.

Центральным утверждением теории является постулат о том, что закон эволюции классической волновой функции по форме должен в точности совпадать с уравнением Лиувилля $i{\frac {\partial }{\partial t}}\rho {=}{\hat {L}}\rho$ для классического распределения плотности вероятности $\rho (t,p,q)$ в фазовом пространстве:

$i{\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle {=}{\hat {L}}|\Psi \rangle$,

(4)

где

${\hat {L}}{=}{-}iH_{p}(x,p){\frac {\partial }{\partial x}}{+}iH_{x}(x,p){\frac {\partial }{\partial p}}$

(5)

— классический оператор Лиувилля. Из данного постулата с учетом свойств (2) и (3) классической волновой функции можно получить для нее наиболее общее выражение:

$\Psi (t,p,q){=}{\sqrt {\rho (t,p,q)}}e^{i\phi (t,p,q)}$,

(6)

в котором фаза $\phi (t,p,q)$ является произвольной действительной функцией своих аргуметов.

Важной особенностью теории Купмана — фон Неймана является то, что выражения (5) и (6) являются лишь одним из множества возможных эквивалентных представлений динамических уравнений. Наиболее общая современная форма генератора движения (5) имеет следующий вид:

${\hat {L}}{=}{-}H_{p}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{x}{+}H_{x}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{p}$,

(7)

где ${\hat {x}},{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x},{\hat {\lambda }}_{p}$ являются самосопряжёнными операторами, удовлетворяющими следующим коммутационным соотношениям:

$[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]{=}i;~~[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p}]{=}i;~~[{\hat {p}},{\hat {x}}]{=}[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {\lambda }}_{x}]{=}[{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{x}]{=}[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {x}}]{=}0;$,

(8)

в которых скобками $[\cdot ,\cdot ]$ обозначен коммутатор операторов. Соотношения (8) представляют собой классический аналог канонических коммутационных соотношений квантовой механики. Легко проверить, что выражение (5) получается из (8) при выборе ${\hat {x}}=x,{\hat {p}}=p,{\hat {\lambda }}_{x}=-i{\frac {\partial }{\partial x}},{\hat {\lambda }}_{p}=-i{\frac {\partial }{\partial p}}$. Однако, как и в квантовой механике, выбор специфической алгебраической формы данных операторов несущественен и определяется лишь соображениями удобства.

Аналогичным образом, любой физической величине $X(p,q)$ ставится в соответствие эрмитов оператор классической наблюдаемой ${\hat {X}}{=}X({\hat {p}},{\hat {q}})$, получаемый путем подстановки операторов вместо соответствующих аргументов. Поучительно, что в отличие от квантовой механики, такая подстановка однозначна благодаря тому, что операторы ${\hat {x}}$ и ${\hat {p}}$ коммутируют. По этой же причине KvN — операторы всех физических величин коммутируют между собой.

Генератор движения (7) также представляет собой эрмитов оператор, а следовательно, временная динамика, описываемая уравнением (4) описывается некоторым унитарным преобразованием $U_{t}$ классической волновой функции: $|\Psi (t)\rangle {=}U_{t}|\Psi (0)\rangle$, причем отображение $t\rightarrow U_{t}$ представляет собой однопараметрическую группу. В этом смысле уравнение (4) структурно полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера. Именно это наблюдение, сделанное Купманом, и послужило стимулом для развития KvN — теории.

В наши дни возможность вышеизложенной абстрактной операторной формы записи уравнений классической динамики может показаться достаточно очевидной, однако в начале 1930-x годов эта идея была совершенно новой и революционной. Она открывала неожиданные перспективы прямого подключения квантовомеханического математического аппарата, в частности, теории представлений к анализу классических систем, чем и не преминул воспользоваться фон Нейман для доказательства своей эргодической теоремы.

Соотнесение с квантовой механикой

Несмотря на множество формальных сходств со Шрёдингеровской квантовой механикой, KvN - теория имеет с ней существенные различия. Во-первых, с помощью прямой проверки можно показать, что эволюция классической волновой функции (7) по закону (4) распадается на два независимых уравнения для фазы $\phi (t,p,q)$ и предэкспоненциального множителя. Таким образом, фазовый множитель $\phi (t,p,q)$ в KvN - теории выступает в качестве произвольного свободного параметра, который никак не влияет на динамику классических наблюдаемых. Этим классическая волновая функция качественно отличается от квантовой, где аналогичный фазовый множитель несет информацию о квантовой когерентности, которая и является источником всех специфически квантовых эффектов.

Ссылки

• John von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955. Reprinted in paperback form.