Конус

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Прямой круговой конус.
Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом.
Усечённый прямой круговой конус.

Конус (от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»[1]) — тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Если основание конуса представляет собой многоугольник, такой конус является пирамидой.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса.
  • Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
  • Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса.
  • Угол раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими (угол при вершине конуса, внутри конуса).
  • Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса.
  • Косой (наклонный) конус — конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
  • Круговой конус — конус, основание которого является кругом.
  • Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
  • Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
  • Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом, или коническим слоем.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания.
V={1 \over 3} SH,

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

  • Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
  • Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
2\pi \left(1 - \cos {\alpha \over 2} \right),
где α — угол раствора конуса.
  • Площадь боковой поверхности такого конуса равна
S = \pi R l,

а полная площадь поверхности (т. е. сумма площадей боковой поверхности и основания)

S = \pi R (l + R),
где R — радиус основания, l — длина образующей.
  • Объём кругового конуса равен
V={1 \over 3} \pi R^2H.
  • Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:
V={1 \over 3} (HS_2-hS_1),

где S1 и S2 — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Уравнение конуса[править | править вики-текст]

Уравнения, задающие боковую поверхность прямого кругового конуса с углом раствора , вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Oz:

\theta = \Theta.
z = r\cdot\operatorname{ctg}\Theta или r = z\cdot\operatorname{tg}\Theta.
z = \plusmn \sqrt{x^2+y^2}\cdot \operatorname{ctg}\Theta. Это уравнение в каноническом виде записывается как
\frac {x^2} {a^2} +  \frac {y^2} {a^2} - \frac {z^2}  {c^2} = 0,

где константы a, с определяются пропорцией c/a = \cos \Theta/\sin\Theta. Отсюда видно, что боковая поверхность прямого кругового конуса представляет собой поверхность второго порядка (она носит название коническая поверхность). В общем виде коническая поверхность второго порядка опирается на эллипс; в подходящей декартовой координатной системе (оси Ох и Оу параллельны осям эллипса, вершина конуса совпадает с началом координат, центр эллипса лежит на оси Oz) её уравнение имеет вид

\frac {x^2} {a^2} +  \frac {y^2} {b^2} - \frac {z^2}  {c^2} = 0,

причём a/c и b/c равны полуосям эллипса. В наиболее общем случае, когда конус опирается на произвольную плоскую поверхность, можно показать, что уравнение боковой поверхности конуса (с вершиной в начале координат) задаётся уравнением f(x,y,z)=0, где функция f(x,y,z) является однородной, то есть удовлетворяющей условию f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=\alpha^n f(x,y,z) для любого действительного числа α.

Развёртка[править | править вики-текст]

Развёртка прямого кругового конуса

Прямой круговой конус как тело вращения образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов, где h — высота конуса от центра основания до вершины — является катетом прямоугольного треугольника, вокруг которого происходит вращение. Второй катет прямоугольного треугольника r — радиус в основании конуса. Гипотенузой прямоугольного треугольника является l — образующая конуса.

В создании развёртки конуса могут использоваться всего две величины r и l. Радиус основания r определяет в развертке круг основания конуса, а сектор боковой поверхности конуса определяет образующая боковой поверхности l, являющаяся радиусом сектора боковой поверхности. Угол сектора \varphi в развёртке боковой поверхности конуса определяется по формуле:

φ = 360°·(r/l).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В алгебраической геометрии конус — это произвольное подподмножество K векторного пространства V над полем F, для которого для любого \lambda\in F
    \lambda K = K.
  • В топологии конус над топологическим пространством X есть фактор-пространство X\times [0,\infty) по отношению эквивалентности (x,0)\sim (y,0).

См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «конус»

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]