Бесконечное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике для последовательности чисел a_1,a_2,a_3,\dots бесконечное произведение


\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots

определяется как предел частичных произведений a_1a_2\dots a_n при n\to\infty. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство \lim_{n\to\infty}a_n=1. Следовательно, логарифм \ln a_n определён для всех n, за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность \{a_n\} это конечное число членов, получим равенство:

\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого n a_n\geqslant 1, обозначим p_n=a_n-1, тогда a_n=p_n+1 и p_n\geqslant 0, откуда следует неравенство:

1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)

которое показывает, что бесконечное произведение \prod_{n=1}^{\infty} a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма \sum_{n=1}^{\infty} p_n.

Наиболее известные примеры бесконечных произведений, наверное, некоторые формулы для \pi, такие как следующие два бесконечных произведения, доказанные соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots;
\frac{\pi}{2} =  \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right) .

Представление функции в виде бесконечного произведения[править | править исходный текст]

Один важный результат о бесконечных произведениях — то, что любая целая функция f, имеющая не более чем счётное количество нулей \{0\}\cup\{a_n\}\to\infty, где точка 0 — нуль порядка \lambda, может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right),

где h — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа p_n подобраны таким образом, чтобы ряд \sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1} сходился. При p_n = 0 соответственная множителю номер n экспонента опускается (считается равной \exp(0) = 1).

Ссылки[править | править исходный текст]