Бесконечное произведение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике, для последовательности чисел $a_1,a_2,a_3,\dots$ бесконечное произведение

$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots$

определяется, как предел частичных произведений $a_1a_2\dots a_n$ при $n\to\infty$ . Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм. Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство $\lim_{n\to\infty}a_n=1$ . Следовательно, логарифм $ln a n$ определён для всех $n$ , за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость, исключив из последовательность ${a n}$ это конечное число членов, получим равенство:

$\ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n,$

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого $n$ $a_n\geqslant 1$ , обозначим $p n = a n - 1$ , тогда $a n = p n + 1$ и $p_n\geqslant 0$ , откуда следует неравенство:

$1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right)$

которое показывает, что бесконечное произведение $\prod_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма $\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ .

Наиболее известные примеры бесконечных произведений, наверное, некоторые формулы для $π$ , такие как следующие два бесконечных произведения, доказанные соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом

$\frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots$

$\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right)$

[править] Представление функции в виде бесконечного произведения

Основная статья: Теорема Вейерштрасса о целых функциях

Один важный результат о бесконечных произведениях — то, что любая целая функция $f$ , имеющая не более чем счётное количество нулей $\{0\}\cup\{a_n\}\to\infty$ , где точка 0 — нуль порядка $λ$ , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

$f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right)$ ,

где $h$ — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа $p n$ подобраны таким образом, чтобы ряд $\sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1}$ сходился. При $p n = 0$ соответственная множителю номер $n$ экспонента опускается (считается равной $exp(0) = 1$ ).