Взаимная информация

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Взаимная информация — статистическая функция двух случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой.

Взаимная информация определяется через энтропию и условную энтропию двух случайных величин как

I\left( {X;Y} \right) = H\left( X \right) - H\left( {X|Y} \right) = H\left( X \right) + H\left( Y \right) - H\left( {X,Y} \right)

Свойства взаимной информации[править | править вики-текст]

  • Взаимная информация является симметричной функцией случайных величин:
I\left( {X;Y} \right) = I\left( {Y;X} \right)
0 \le I\left( {X;Y} \right) \le \min \left[ H\left( X \right), H\left( Y \right) \right]

В частности, для независимых случайных величин взаимная информация равна нулю:

 I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - H \left( X \right) = 0

В случае, когда одна случайная величина (например, X) является детерминированной функцией другой случайной величины (Y), взаимная информация равна энтропии:

 I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - 0 = H \left( X \right)

Условная и безусловная взаимная информация[править | править вики-текст]

Условная взаимная информация — статистическая функция трёх случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой, при условии заданного значения третьей:

I\left( {X;Y|Z = z} \right) = H\left( {X|Z = z} \right) - H\left( {X|Y,Z = z} \right)

Безусловная взаимная информация — статистическая функция трёх случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой, при условии заданной третьей случайной величины:

I\left( {X;Y|Z} \right) = H\left( {X|Z} \right) - H\left( {X|Y,Z} \right)

Свойства[править | править вики-текст]

  • Являются симметричными функциями:
I\left( {X;Y | Z } \right) = I\left( {Y;X | Z } \right)
I\left( {X;Y | Z = z} \right) = I\left( {Y;X | Z = z} \right)
  • Удовлетворяют неравенствам:
0 \le I\left( {X;Y | Z } \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z } \right), H \left( {Y | Z } \right) \right]
0 \le I\left( {X;Y | Z = z} \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z = z} \right), H \left( {Y | Z = z} \right) \right]

Литература[править | править вики-текст]