Взаимная информация

Взаимная информация — статистическая функция двух случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой.

Взаимная информация определяется через энтропию и условную энтропию двух случайных величин как

$I\left( {X;Y} \right) = H\left( X \right) - H\left( {X|Y} \right) = H\left( X \right) + H\left( Y \right) - H\left( {X,Y} \right)$

Свойства взаимной информации

• Взаимная информация является симметричной функцией случайных величин:

$I\left( {X;Y} \right) = I\left( {Y;X} \right)$

• Взаимная информация неотрицательна и не превосходит информационную энтропию аргументов:

$0 \le I\left( {X;Y} \right) \le \min \left[ H\left( X \right), H\left( Y \right) \right]$

В частности, для независимых случайных величин взаимная информация равна нулю:

$I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - H \left( X \right) = 0$

В случае, когда одна случайная величина (например, $X$) является детерминированной функцией другой случайной величины ($Y$), взаимная информация равна энтропии:

$I\left( {X;Y} \right) = H \left( X \right) - H \left( X | Y \right) = H \left( X \right) - 0 = H \left( X \right)$

Условная и безусловная взаимная информация

Условная взаимная информация — статистическая функция трёх случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой, при условии заданного значения третьей:

$I\left( {X;Y|Z = z} \right) = H\left( {X|Z = z} \right) - H\left( {X|Y,Z = z} \right)$

Безусловная взаимная информация — статистическая функция трёх случайных величин, описывающая количество информации, содержащееся в одной случайной величине относительно другой, при условии заданной третьй случайной величины:

$I\left( {X;Y|Z} \right) = H\left( {X|Z} \right) - H\left( {X|Y,Z} \right)$

Свойства

• Являются симметричными функциями:

$I\left( {X;Y | Z } \right) = I\left( {Y;X | Z } \right)$

$I\left( {X;Y | Z = z} \right) = I\left( {Y;X | Z = z} \right)$

• Удовлетворяют неравенствам:

$0 \le I\left( {X;Y | Z } \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z } \right), H \left( {Y | Z } \right) \right]$

$0 \le I\left( {X;Y | Z = z} \right) \le \min \left[ H \left( {X | Z = z} \right), H \left( {Y | Z = z} \right) \right]$

Литература

• Габидулин, Э. М., Пилипчук, Н. И. Лекции по теории информации. — М.: МФТИ, 2007. — 214 с. — ISBN 5-7417-0197-3