Геометрический род

Геометрический род — это базовый бирациональный инвариант p_g алгебраических многообразий и комплексных многообразий.

Определение

Геометрический род может быть определён для несингулярных комплексных проективных многообразий и, более общо, для комплексных многообразий, как число Ходжа h^n,0 (равное h^0,n согласно двойственности Серра), то есть, как размерность канонической линейной системы плюс единица.

Другими словами, для многообразия V комплексной размерности n это значение равно числу линейно независимых голоморфных n-форм на многообразии V. Это определение как размерность пространства

$H^{0}(V,\Omega ^{n})$

тогда переносится на любое базовое поле, если Ω брать как пучок кэлеровых дифференциалов, а степень равна внешнему произведению, каноническому линейному расслоению.

Геометрический род является первым инвариантом $p_{g}=P_{1}$ последовательности инвариантов $P_{n}$, носящих название плюрижанр (или кратный род).

Случай кривых

В случае комплексных многообразий несингулярные кривые являются римановыми поверхностями. Алгебраическое определение рода согласуется с топологическим понятием рода. На несингулярной кривой каноническое линейное расслоение имеет степень $2g-2$.

Понятие рода присутствует заметно в утверждении теоремы Римана — Роха (см. также теорему Римана — Роха для поверхностей) и формуле Римана — Гурвица. По теореме Римана — Роха неприводимая плоская кривая степени d имеет геометрический род

$g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,$

где s — число особых точек, нужным образом подсчитанных.

Если C является неприводимой (и гладкой) поверхностью в проективной плоскости, определяемой полиномиальным уравнением степени d, то её нормальное линейное расслоение является скручивающим пучком Серра ${\mathcal {O}}(d)$, так что по формуле присоединения каноническое линейное расслоение поверхности C задаётся равенством ${\mathcal {K}}_{C}=[{\mathcal {K}}_{\mathbb {P} ^{2}}+{\mathcal {O}}(d)]_{{\mid }C}={\mathcal {O}}(d-3)_{{\mid }C}$.

Род сингулярных многообразий

Определение геометрического рода переносится классическим образом на сингулярные кривые C путём констатации, что $p_{g}(C)$ является геометрическим родом нормализации C′. То есть, поскольку отображение $C^{\prime }\rightarrow C$ является бирациональным, определение расширяется бирациональным инвариантом.

См. также

• Арифметический род
• Инварианты поверхностей

Литература

• Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic Geometry. — Wiley Interscience, 1994. — С. 494. — (Wiley Classics Library). — ISBN 0-471-05059-8.
• Данилов В.И., Шокуров В.В. Алгебраическая геометрия-1. — 1998. — Т. 23. — (Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.).