Особенность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения), Критическая точка (математика).

Особенность, или сингулярность в математике — это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема).

Особенности в комплексном анализе[править | править исходный текст]

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (и более общий случай: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе[править | править исходный текст]

Функция f(x)=1/x имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева.  ·  Функция g(x)=|x| также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.
1overx.gif Abs(x).gif
 
Y^2=x.gif Y^2=x^3plusx^2.gif
График, определённый выражением y^2=x, имеет в нуле особенность — вертикальную касательную. Кривая, заданная уравнением y^2=x^3+x^2, имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Особенности в алгебраической геометрии[править | править исходный текст]

Особенность алгебраического многообразия — это точка, в которой касательное пространство к многообразию не может быть корректно определено. Неособые точки называют также регулярными. Простейший пример особенности — кривая, пересекающая сама себя. Существуют и другие типы особенностей, например каспы: кривая, определённая уравнением x^2=y^3 имеет касп в начале координат. Можно было бы сказать, что ось x касается кривой в этой точке, однако для этого пришлось бы изменить определение касательной. Более корректно, эта кривая имеет «двойную касательную» в начале координат.

Для аффинных или проективных многообразий, особенности — это в точности те точки, в которых ранг матрицы Якоби (матрицы из частных производных многочленов, задающих многообразие) ниже, чем в других точках.

Используя термины коммутативной алгебры, можно дать другое определение, которое поддаётся обобщению на абстрактные многообразия и схемы: точка x является регулярной тогда и только тогда, когда локальное кольцо рациональных функций в этой точке является регулярным кольцом.