Группа Гейзенберга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида


\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & 1 & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

  • кольцо вещественных чисел R=\mathbb{R} — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается H_3(\mathbb{R}), или
  • кольцо целых чисел R=\mathbb{Z} — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается H_3(\mathbb{Z}), или
  • кольцо вычетов R=\mathbb{Z}_p с простым числом p — группа обозначается H_3(\mathbb{Z}_p).

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга H_{n+2}, \ n \ge 1, состоит из квадратных матриц порядка n+2:


\begin{pmatrix}
 1 & a & c\\
 0 & E_n & b\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix},

где \,E_n — единичная матрица порядка n и a=(a_1, \ldots, a_n) — вектор-строка, b=(b_1, \ldots, b_n)^* — вектор-столбец, элементы \,a_i, b_i, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга H_{n+2}(\mathbb{R}) представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией \mathbb{R}), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида


\begin{pmatrix}
 0 & a & c\\
 0 & 0_n & b\\
 0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix},
\qquad a=(a_1, \ldots, a_n), \quad b=(b_1, \ldots, b_n)^*, \qquad a_i, b_i, c \in \mathbb{R},

где \,0_n — нулевая квадратная матрица порядка n.

References[править | править вики-текст]