Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается $D[X]$ в русской литературе и $\operatorname {var} \,X$ (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение $\sigma _{X}^{2}$ или $\displaystyle \sigma ^{2}$. Квадратный корень из дисперсии, равный $\displaystyle \sigma$, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75% случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89% — не более чем на три.

Определение

Пусть $\displaystyle X$ — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

$D[X]=M\left[(X-M[X])^{2}\right],$

где символ $M$ обозначает математическое ожидание.

Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  $D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2};$

• Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины;
• Дисперсия может быть бесконечной. См., например, распределение Коши.
• Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов $U(t)$:

  $D[X]=M[X^{2}]-\left(M[X]\right)^{2}=U''(0)-\left(U'(0)\right)^{2}$

• Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: $D[X]\geqslant 0;$
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: $D[a]=0.$ Верно и обратное: если $D[X]=0,$ то $X=M[X]$ почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  $\!D[X\pm Y]=D[X]+D[Y]\pm 2\,{\text{cov}}(X,Y)$, где $\!{\text{cov}}(X,Y)$ — их ковариация;

• Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:

  $\!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})$, где $c_{i}\in \mathbb {R}$;

• В частности, $D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]$ для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю;
• $D\left[aX\right]=a^{2}D[X];$
• $D\left[-X\right]=D[X];$
• $D\left[X+b\right]=D[X].$

Пример

Пусть случайная величина $\displaystyle X$ имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на $\displaystyle [0,1],$ то есть её плотность вероятности задана равенством

$f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.$

Тогда

$M\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},$

и

$M\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.$

Тогда

$D[X]=M\left[X^{2}\right]-(M[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.$

См. также

• Среднеквадратическое отклонение
• Моменты случайной величины
• Ковариация
• Выборочная дисперсия
• Независимость (теория вероятностей)
• Скедастичность