Распределение Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Распределение Коши
Плотность вероятности
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Обозначение \mathrm{C}(x_0,\gamma)
Параметры x_0\!коэффициент сдвига
\gamma > 0\!коэффициент масштаба
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
Функция распределения \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
Математическое ожидание (не существует)
Медиана x_0\!
Мода x_0\!
Дисперсия (не существует)
Коэффициент асимметрии (не существует)
Коэффициент эксцесса (не существует)
Информационная энтропия \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
Производящая функция моментов (не определена)
Характеристическая функция \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца и распределе́нием Бре́йтаВи́гнера) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Определение[править | править исходный текст]

Пусть распределение случайной величины ~X задаётся плотностью ~f_X(x), имеющей вид:

f_X(x) =  \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right],

где

  • x_0 \in \mathbb{R} — параметр сдвига;
  • \gamma > 0  — параметр масштаба.

Тогда говорят, что X имеет распределение Коши и пишут X \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma). Если x_0 = 0 и \gamma = 1, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

Функция распределения[править | править исходный текст]

Функция распределения Коши имеет вид:

F_X(x) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

F^{-1}_X(x) =  x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

Моменты[править | править исходный текст]

Так как интеграл Лебега

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx

не определён для \alpha \geqslant 1, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: \lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x  \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right]\, dx = x_0 ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

Другие свойства[править | править исходный текст]

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)

Связь с другими распределениями[править | править исходный текст]

  • Если U \sim U[0,1], то
 x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma).
\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1).
\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1).

Появление в практических задачах[править | править исходный текст]

  • Распределением Коши характеризуется длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс прямой, закреплённой в точке на оси ординат, если угол между прямой и осью ординат имеет равномерное распределение на интервале (−π; π) (т.е. направление прямой изотропно на плоскости).
  • В физике распределением Коши (называемым также формой Лоренца) описываются профили равномерно уширенных спектральных линий.
  • Распределение Коши описывает амплитудно-частотные характеристики линейных колебательных систем в окрестности резонансных частот.


Bvn-small.png  п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | дискретное равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | гиперэкспоненциальное | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | нормальное (Гаусса) | логистическое | Накагами |Парето | полукруговое | непрерывное равномерное | Райса | Рэлея | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | variance-gamma многомерное нормальное | копула