Распределение Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
Распределение Коши
Плотность вероятности
Probability density function for the Cauchy distribtion
Зелёная кривая соответствует стандартному распределению Коши
Функция распределения
Cumulative distribution function for the Normal distribution
Цвета находятся в соответствии с графиком выше
Параметры x_0\! - коэффициент сдвига
\gamma > 0\! - коэффициент масштаба
Носитель x \in (-\infty; +\infty)\!
Плотность вероятности \frac{1}{\pi\gamma\,\left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} \!
Функция распределения \frac{1}{\pi} \mathrm{arctg}\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}
Математическое ожидание (не определено)
Медиана x0
Мода x0
Дисперсия (не определена)
Коэффициент асимметрии (не определён)
Коэффициент эксцесса (не определён)
Информационная энтропия \ln(4\,\pi\,\gamma)\!
Производящая функция моментов (не определена)
Характеристическая функция \exp(x_0\,i\,t-\gamma\,|t|)\!

Распределе́ние Коши́ в теории вероятностей (также называемое в физике распределе́нием Ло́ренца) — класс абсолютно непрерывных распределений. Случайная величина, имеющая распределение Коши, является стандартным примером величины, не имеющей математического ожидания и дисперсии.

Содержание

[править] Определение

Пусть распределение случайной величины X задаётся плотностью fX(x), имеющей вид:

f_X(x) =  \frac{1}{\pi\gamma \left[1 + \left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)^2\right]} = { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right],

где

  • x_0 \in \mathbb{R} — параметр сдвига;
  • γ > 0 — параметр масштаба.

Тогда говорят, что X имеет распределение Коши и пишут X˜C(x0,γ). Если x0 = 0 и γ = 1, то такое распределение называется станда́ртным распределением Коши.

[править] Функция распределения

Функция распределения Коши имеет вид:

F_X(x) = \frac{1}{\pi}\,\mathrm{arctg}\,\left(\frac{x-x_0}{\gamma}\right)+\frac{1}{2}.

Она строго возрастает и имеет обратную функцию:

F^{-1}_X(x) =  x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\,\left(x-{1 \over 2}\right)\right].

Это позволяет генерировать выборку из распределения Коши с помощью метода обратного преобразования.

[править] Моменты

Так как интеграл Лебега

\int\limits_{-\infty}^{\infty}\!x^{\alpha}f_X(x)\, dx

не определён для \alpha \geqslant 1, ни математическое ожидание (хотя интеграл 1-го момента в смысле главного значения равен: \lim\limits_{c \rightarrow \infty} \int\limits_{-c}^{c} x  \cdot { 1 \over \pi } \left[ { \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2  } \right]\, dx = x_0 ), ни дисперсия, ни моменты старших порядков этого распределения не определены. Иногда говорят, что математическое ожидание не определено, а дисперсия бесконечна.

[править] Другие свойства

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n X_i \sim \mathrm{C}(0,1)

[править] Связь с другими распределениями

  • Если U \sim U[0,1], то
 x_0 + \gamma\,\mathrm{tg}\,\left[\pi\left(U-{1 \over 2}\right)\right] \sim \mathrm{C}(x_0,\gamma).
\frac{X_1}{X_2} \sim \mathrm{C}(0,1).
\mathrm{C}(0,1) \equiv \mathrm{t}(1).
 п·о·р        Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | Лапласа | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | Парето | равномерное | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное