Доказательство от противного

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Доказательство «от противного» (лат. Contradictio in contrarium) в математике — один из самых часто используемых методов доказательства утверждений.Доказательство от противного - вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение противоречащего ему суждения - антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности формулы ((A\Rightarrow B) \land \neg B) \Rightarrow \neg A в классической логике и законе двойного отрицания.

Схема доказательства[править | править исходный текст]

Доказательство утверждения A проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение A неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение B, которое заведомо неверно. Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение \neg\neg A, которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению A.

В интуиционистской логике закон исключённого третьего не действует, поэтому такие доказательства в ней не принимаются.

Пример[править | править исходный текст]

Доказательство иррациональности числа \sqrt{2}.

Допустим противное: \sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби \frac{m}{n}, где m - целое число, а n — натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

\sqrt{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow 2 = \frac{m^2}{n^2} \Rightarrow m^2 = 2n^2.

Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и m; следовательно, m^2 делится на 4, а значит, n^2 и n тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби \frac{m}{n}. Значит, исходное предположение было неверным, и \sqrt{2} — иррациональное число.

Например, врач, убеждая пациента в том, что тот не болен гриппом, может рассуждать следующим образом: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т.д. Но ничего этого нет. Следовательно, нет и гриппа»

См. также[править | править исходный текст]