Ласточкин хвост (поверхность)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ла́сточкин хвост (англ. swallow tail) — нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим многочлен P(x)=x^4+ax^2+bx+c от переменной x, зависящий от коэффициентов a,b,c (и переменная, и коэффициенты предполагаются вещественными). Каждой тройке коэффициентов a,b,c однозначно соответствует многочлен P(x), а также точка в пространстве с декартовыми координатами (a,b,c). Тогда «ласточкин хвост» определяется как поверхность S в пространстве с координатами (a,b,c), точкам которой соответствуют многочлены P(x), имеющие кратные корни.

«Ласточкин хвост»

Поверхность S имеет особенность в виде ребра возврата и линии самопересечения, при этом ребро возврата имеет вид полукубической параболы, имеющей особенность в виде точки возврата (каспа). Поверхность S разбивает пространство (a,b,c) на три области, соответствующие числу вещественных корней многочлена P(x). Именно, в области, имеющей вид криволинейной пирамиды, ребрами которой являются линия самопересечения и две ветви полукубической параболы, P(x) имеет 4 вещественных корня; в прилегающей к ней области — два и в оставшейся области — нуль.

Ласточкин хвост находит многочисленные применения в теории катастроф и теории бифуркаций. В частности, он является поверхностью критических значений (образом множества критических точек) одного из устойчивых ростков гладких отображений f: \R^3\to\R^3. Ласточкин хвост является стратифицированным многообразием.

Параметрическое задание[править | править вики-текст]

Пользуясь данным определением, можно получить формулу, задающую ласточкин хвост параметрически:


\left\{
\begin{matrix}
x_1(u,v) =& u \\
x_2(u,v) =& 2v^3 + uv \\
x_3(u,v) =& 3v^4 + uv^2. \\
\end{matrix}
\right.

Интересные факты[править | править вики-текст]

Поверхность ласточкин хвост была подробно изучена Кронекером в 1878 году, она встречается также в работах Кэли того же времени, посвящённых особенностям распространяющихся волновых фронтов и каустик. [1]

В 1983 году испанский художник Сальвадор Дали под впечатлением от работ французского математика Рене Тома в области теории катастроф написал картину «Ласточкин хвост», представляющую собой простую каллиграфическую композицию на светлом фоне, в центре которой изображено сечение поверхности S в пространстве (a,b,c) плоскостью a = const >0 — кривая с точкой самопересечения и двумя полукубическими точками возврата. На этой картине, ставшей последним произведением художника, можно видеть также кубическую параболу, стилизованные знаки интеграла и фрагменты музыкальных инструментов.[2] [3] [4] [5]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
  2. Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали.
  3. Дали Сальвадор. Биография (недоступная ссылка с 18-05-2013 (417 дней)).
  4. The Swallow’s Tail
  5. Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l’oeuvre et l’homme (Lausanne: Edita, 1984).