Дискриминант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Дискримина́нт многочлена p(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nxⁿ, есть произведение

, где α₁,α₂,...,α_n - все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

[править] Свойства

• Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
• Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые, поэтому не зависит от расширения, в котором берутся корни.
• , где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
  • В частности, дискриминант многочлена

равен, с точностью до знака, определителю следующей -матрицы:

1	an − 1	an - 2	.	.	.	a0	0	.	.	.	0
0	1	an − 1	an - 2	.	.	.	a0	0	.	.	0
0	0	1	an − 1	an - 2	.	.	.	a0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	1	an − 1	an - 2	.	.	.	a0
n	(n − 1)an − 1	(n − 2)an − 2	.	.	a1	0	0	.	.	.	0
0	n	(n − 1)an − 1	(n − 2)an − 2	.	.	a1	0	0	.	.	0
0	0	n	(n − 1)an − 1	(n − 2)an − 2	.	.	a1	0	0	.	0
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.	.
0	0	0	0	0	n	(n − 1)an − 1	(n − 2)an − 2	.	.	a1	0
0	0	0	0	0	0	n	(n − 1)an − 1	(n − 2)an − 2	.	.	a1

[править] Примеры

• Дискриминант квадратного трёхчлена ax² + bx + c равен b² − 4ac;
• Дискриминант многочлена a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ равен

• В частности, дискриминант многочлена x³ + px + q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен − 27q² − 4p³.

[править] История

Термин образован от лат. discriminar — «разбирать», «различать». Понятие дискриминант квадратичной формы, использовался в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввел Сильвестр.^{[источник не указан 58 дней]}