Дискриминант

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «дискриминант»

Дискримина́нт многочлена p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n, есть произведение

D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2, где \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n — все корни (с учётом кратностей) в некотором расширении основного поля, в котором они существуют.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.
  • Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни.
  • D(p)=\frac{(-1)^{n(n-1)/2}}{a_n}R(p,p'), где R(p,p') — результант многочлена p(x) и его производной p'(x).
    • В частности, дискриминант многочлена
p(x) = x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0
равен, с точностью до знака, определителю следующей (2n-1)\times(2n-1)-матрицы:
1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . . 0
0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . . 0
0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 1 a_{n-1} a_{n-2} . . . a_0
n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . . 0
0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . . 0
0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0 0 . 0
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1 0
0 0 0 0 0 0 n (n-1)a_{n-1} (n-2)a_{n-2} . . a_1

Примеры[править | править вики-текст]

  • Дискриминант D квадратного трёхчлена ax^2+bx+c равен b^2-4ac. При D > 0 корней — два, и они вычисляются по формуле
    x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a};       (1)
  • при D = 0 корень один (в некоторых контекстах говорят также о двух равных или совпадающих корнях), кратности 2:
    x = \frac{-b}{2a};
  • при D < 0 вещественных корней нет. Существуют два комплексных корня, выражающиеся той же формулой (1) (без использования извлечения корня из отрицательного числа), либо формулой
    x_{1,2} = \frac{-b \pm i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.
  • Дискриминант многочлена a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 равен
-4a_1^3a_3 + a_1^2a_2^2 - 4a_0a_2^3 + 18a_0a_1a_2a_3 - 27a_0^2a_3^2.
  • В частности, дискриминант многочлена x^3+px+q (корни которого вычисляются по формуле Кардано) равен -27q^2-4p^3.

История[править | править вики-текст]

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю». Понятие «дискриминант квадратичной формы» использовалось в работах Гаусса, Дедекинда, Кронекера, Вебера и др. Термин ввёл Сильвестр[1].

Примечания[править | править вики-текст]