Матрица перехода

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ма́трицей перехо́да от базиса \langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle к базису \langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов \langle b_1, b_2, \ldots, b_n \rangle в базисе \langle a_1, a_2, \ldots, a_n \rangle.

Обозначается P_{a \rightarrow b} \in F^{n*n}

Представление[править | править исходный текст]

Так как

\mathbf{b}_1 = \alpha_{11}\mathbf{a}_1 + \alpha_{12}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{1n}\mathbf{a}_n  .
\mathbf{b}_2 = \alpha_{21}\mathbf{a}_1 + \alpha_{22}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{2n}\mathbf{a}_n  .
\ldots.
\mathbf{b}_n = \alpha_{n1}\mathbf{a}_1 + \alpha_{n2}\mathbf{a}_2 + \ldots + \alpha_{nn}\mathbf{a}_n  .

Матрица перехода это


 \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{21}&... & \alpha_{n1}  \\ \alpha_{12} & \alpha_{22}&... & \alpha_{n2}  \\  ...&...&...&... \\\alpha_{1n} & \alpha_{2n}&... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}

Использование[править | править исходный текст]

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису a_1, a_2, \ldots, a_n, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис b_1, b_2, \ldots, b_n.

Из-за того, что матрица перехода уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов R^nв другие базисы, она используется в трёхмерном моделировании.

Пример[править | править исходный текст]

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:


\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
Матрицы наиболее распространённых преобразований
В двумерных координатах В однородных двумерных координатах В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование

При a, b и c - коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:


\begin{bmatrix}
a&0 \\
0&b\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a&0&0 \\
0&b&0 \\
0&0&1\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a&0&0&0 \\
0&b&0&0 \\
0&0&c&0 \\
0&0&0&1\end{bmatrix}
Поворот

При φ - угол поворота изображения в двухмерном пространстве

По часовой стрелке


\begin{bmatrix}
 \cos \phi & \sin \phi \\
-\sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 \cos\phi & \sin\phi & 0 \\
-\sin\phi & \cos\phi & 0 \\
          0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Относительно OX на угол φ


\begin{bmatrix}
     1 &       0 & 0      & 0 \\
     0 & \cos\phi&\sin\phi& 0 \\
     0 &-\sin\phi&\cos\phi& 0 \\
     0 &       0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Относительно OY на угол ψ


\begin{bmatrix}
 \cos\psi& 0 &\sin\psi& 0 \\
       0 & 1 &      0 & 0 \\
-\sin\psi& 0 &\cos\psi& 0 \\
       0 & 0 &      0 & 1 \end{bmatrix}

Против часовой стрелки


\begin{bmatrix}
 \cos \phi &-\sin \phi \\
 \sin \phi & \cos \phi \end{bmatrix}

Относительно OZ на угол χ


\begin{bmatrix}
 \cos \chi &\sin \chi & 0 & 0 \\
-\sin \chi &\cos \chi & 0 & 0 \\
       0 &      0 & 1 & 0 \\
       0 &      0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
Перемещение

При a, b и c - смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.

В неоднородных координатах не имеет матричного представления.


\begin{bmatrix}
 1 & 0 & a \\
 0 & 1 & b \\
 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
 1 & 0 & 0 & a \\
 0 & 1 & 0 & b \\
 0 & 0 & 1 & c \\
 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Свойства[править | править исходный текст]

Пример поиска матрицы[править | править исходный текст]

Найдём матрицу перехода от базиса a_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},a_{2}=\begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix},a_{3}=\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} к единичному базису b_{1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} путём элементарных преобразований

 \begin{pmatrix} 1 & -1 & 5 & | & 1&0 &0 \\ 2 & -4 & 1& |& 0&1&0  \\ -1 & 2 & 0 & | &0&0&1  \end{pmatrix}\rightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2&-10 &-19 \\ 0 & 1 & 0& |& 1&-5&-9  \\ 0 & 0 & 1 & | &0&1&2\end{pmatrix} следовательно P_{a \rightarrow b}=\begin{pmatrix}2&-10 &-19 \\  1&-5&-9  \\ 0&1&2  \end{pmatrix}

См. также[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]