Матрица поворота

Матрицей поворота (или матрицей направляющих косинусов) называется ортогональная матрица, которая используется для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. При умножении матрицы поворота на вектор длина вектора сохраняется, при этом определитель матрицы поворота положителен (и равен 1).

В отличие от матрицы перехода матрица поворота при умножении на вектор-столбец преобразует координаты вектора в соответствии с поворотом вектора (а не поворотом координатных осей). При этом координаты повернутого вектора получаются в той же (неподвижной) системе координат.

Матрица поворота в двумерном пространстве

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом $\;\theta$ со следующей матрицей линейного преобразования в декартовой системе координат:

$M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \pm \sin{\theta} \\ \mp\sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}$

Поворот выполняется путём умножения матрицы поворота на вектор-столбец, описывающий вращаемую точку:

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \pm \sin \theta \\ \mp \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$.

Координаты (x',y') в результате поворота точки (x,y) имеют вид:

$x' = x \cos \theta \pm y \sin \theta\,$,

$y' = x \sin \theta \mp y \cos \theta\,$.

Конкретные знаки в формулах зависят от того, является ли система координат правосторонней или левосторонней, и выполняется ли вращение по или против часовой стрелки. ^{[уточнить]}

Матрица поворота в трёхмерном пространстве

Матрицами вращения вокруг оси декартовой системы координат на угол α в трёхмерном пространстве являются:

• Вращение вокруг оси x:

$M_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$,

• Вращение вокруг оси y:

$M_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$,

• Вращение вокруг оси z:

$M_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Положительным углам при этом соответствует вращение вектора против часовой стрелки в правой системе координат, и по часовой стрелке в левой системе координат, если смотреть на плоскость вращении со стороны полупространства, где значения координат оси, вокруг которой осуществляется поворот, положительные. Правая система координат связана с выбором правого базиса (см. правило буравчика).

Изменение оси поворота

Пусть $\;M$ — матрица поворота вокруг оси с ортом $\;n$ на угол $\;\alpha$, $\;M'$ — матрица поворота вокруг оси с ортом $\;n'$ на тот же угол, причем

$\;n' = M'' \cdot \; n,$

где $\;M''$ — матрица поворота, изменяющая орт оси поворота $\;n$. Тогда

$M' = M'' \cdot M \cdot M''^{\;T} ,$

где $\;M''^{\;T}$ — транспонированная матрица $\;M''$.

Перестановочность поворотов

Если $\;M_1$ — матрица поворота вокруг оси с ортом $\;n$ на угол $\;\alpha$, $\;M_2$ — матрица поворота вокруг оси с ортом $\;m$ на угол $\;\beta$, то $M_2 \cdot M_1$ — матрица, описывающая поворот, являющийся результатом двух последовательно осуществленных поворотов ($\;M_1$ и $\;M_2$), поскольку

$(M_2 \cdot M_1) \cdot r = M_2 \cdot (M_1 \cdot r).$

При этом последовательность поворотов можно поменять, видоизменив поворот $\;M_1$:

$M_2 \cdot M_1 = M'_1 \cdot M_2,$

где матрица $\;M'_1$ — матрица поворота на угол $\;\alpha$ вокруг оси c ортом $\;n',$ повернутым с помощью поворота $\;M_2$:

$n' = M_2 \cdot n, \qquad M'_1 = M_2 \cdot M_1 \cdot M_2^T,$

поскольку $M_2^T \cdot M_2 = E$, т.к. матрица поворота является ортогональной матрицей ($\;E$ — единичная матрица). Заметим, что коммутативности поворотов в обычном смысле нет, т.е.

$M_2 \cdot M_1 \neq M_1 \cdot M_2.$

Выражение матрицы поворота через углы Эйлера

Последовательные повороты около осей $\;Z, X', Z''$ на угол прецессии ($\;\alpha$), угол нутации ($\;\beta$) и на угол собственного вращения ($\;\gamma$) приводят к следующему выражению для матрицы поворота:

$M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{pmatrix} \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\cos \alpha \sin \gamma - \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & -\sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & -\cos \alpha \sin \beta \\ \sin \beta \sin \gamma & \sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}$

Ось $\;X'$ — ось X, повернутая первым поворотом (на $\;\alpha$), $\;Z''$ — ось Z, повернутая первым и вторым поворотом (на $\;\alpha$ и $\;\beta$). Вследствие перестановочности поворотов приведенная матрица соответствует поворотам на углы $\;\gamma$, $\;\beta$, $\;\alpha$ вокруг осей Z, X, Z:

$M(\alpha,\beta,\gamma) = M_z(\alpha) \cdot M_x(\beta) \cdot M_z(\gamma)$.

В случае, если повороты задаются в другой последовательности, матрица поворота находится перемножением матриц для вращения вокруг соответствующих декартовых осей координат, например:

• 1) Поворот около осей: X, Y, X
• 2) Соответственно: X, Y, Z
• 3) X, Z, X
• 4) X, Z, Y
• 5) Y, X, Y
• 6) Y, X, Z
• 7) Y, Z, X
• 8) Y, Z, Y
• 9) Z, X, Y
• 10) Z, X, Z
• 11) Z, Y, X
• 12) Z, Y, Z

Выражение матрицы поворота через угол поворота $\theta$ и единичный вектор оси вращения $\hat{\mathbf{v}} = (x,y,z)$

В декартовых координатах матрица поворота имеет вид:

$M(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{pmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{pmatrix}$

Выражение матрицы поворота через кватернион

Если задан кватернион q = (w,x,y,z), то соответствующая матрица поворота имеет вид:

$Q = \begin{bmatrix} 1 - 2 y^2 - 2 z^2 & 2 x y - 2 z w & 2 x z + 2 y w \\ 2 x y + 2 z w & 1 - 2 x^2 - 2 z^2 & 2 y z - 2 x w \\ 2 x z - 2 y w & 2 y z + 2 x w & 1 - 2 x^2 - 2 y^2 \end{bmatrix} .$

Свойства матрицы поворота

Если $\mathbf{M}$ — матрица, задающая поворот вокруг оси $\vec n$ на угол $\phi$, то:

• $|\mathbf{M} \vec v| = |\vec v|$ $\forall \vec v$
• $\mathbf{M} \vec n = \vec n$
• $(\mathbf{M} \vec v,\vec v) = (1-\cos\varphi)(\vec n \cdot \vec v)^2 + (\vec v)^2 \cos\varphi$
• $\operatorname{Tr}(\mathbf{M}) = 1 + 2 \cos\varphi$ (след матрицы вращения)
• $\det \mathbf{M} = 1$ (матрица имеет единичный определитель).
• если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов $\vec a, \vec b, \vec c$, то верны следующие соотношения):
  • $|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1$
  • $\vec a \cdot \vec b = 0, \vec b \cdot \vec c = 0, \vec c \cdot \vec a = 0$
  • $\vec a \times \vec b = \vec c, \vec b \times \vec c = \vec a, \vec c \times \vec a = \vec b$
• Матрица обратного поворота получается обычным транспонированием матрицы прямого поворота, т. о. $\mathbf{M}^\mathrm{-1} = \mathbf{M}^\mathrm{T}$.

См. также

• Матрица перехода

Литература

• Лурье А. И. Аналитическая механика — М.:Физматлит — 1961 г. — 824 с.

Ссылки

• Поворот плоскости. Матрица поворота