Обобщённое нормальное распределение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

'Обобщённое нормальное (обобщённое гауссовское) распределение' есть одно из двух параметрических семейств абсолютно непрерывных вероятностных распределений на действительной прямой. Два подхода к определению данного семейства распределений обозначаются далее как «подход 1» и «подход 2». Однако данные наименования не являются общепринятыми.

Подход 1[править | править исходный текст]

Обобщённое нормальное распределение представляет собой параметрическое семейство симметричных распределений, включающее все нормальные и лапласовские распределение, а в предельных случаях включающее также все непрерывные uniform distributions на ограниченных интервалах действительной прямой.

Распределение из данного семейства является нормальным при \textstyle\beta=2 (с математическим ожиданием \textstyle\mu и дисперсией \textstyle \frac{\alpha^2}{2}) и является распределением Лапласа при \textstyle\beta=1. Так как \textstyle\beta\rightarrow\infty, соответствующая плотность поточечно сходится к одномерной плотности на \textstyle (\mu-\alpha,\mu+\alpha).

Данное семейство демонстрирует наличие хвостов распределения, которые тяжелее нормальных хвостов при \beta<2 и легче нормальных при \beta>2. Введение обобщённого нормального распределения представляет собой удобный способ параметризации множества симметричных platykurtic распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности нормального (\textstyle\beta=2) до плотности равномерного распределения (\textstyle\beta=\infty), и множества симметричных leptokurtic распределений, характеризующихся плотностью, изменяющейся от плотности лапласовского (\textstyle\beta=1) до плотности нормального распределения (\textstyle\beta=2).

Оценка параметров[править | править исходный текст]

Оценка параметров распределения методом максимального правдоподобия и методом моментов была изучена в [1]. Оценки не имеют конечных аналитических выражений и должны вычисляться численно. Оценки, не нуждающиеся в численном вычислении, также описаны в [2].

Обобщённо-нормальная логарифмическая функция правдоподобия имеет бесконечно много непрерывных производных (то есть принадлежит классу C гладких функций) только тогда, когда \textstyle\beta чётное положительное целое число. Иначе данная функция имеет \textstyle\lfloor \beta \rfloor непрерывных производных. Следовательно, стандартные результаты для состоятельности и асимптотической нормальности оценки максимального правдоподобия для \beta могут быть применены лишь в случае \textstyle\beta\ge 2.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Varanasi, M.K.; Aazhang, B. (October 1989). «Parametric generalized Gaussian density estimation». Journal of the Acoustical Society of America 86 (4): 1404–1415. DOI:10.1121/1.398700. Проверено 2009-03-03.
  2. Domínguez-Molina, J. Armando; González-Farías, Graciela; Rodríguez-Dagnino, Ramón M.. «A practical procedure to estimate the shape parameter in the generalized Gaussian distribution». Проверено 2009-03-03.