Основная теорема римановой геометрии

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии (или псевдоримановом многообразии) имеется единственная метрическая связность без кручения, называемая связностью Леви-Чивиты данной метрики. Здесь метрическая (или риманова) связность — это связность, сохраняющая метрический тензор.

Формулировка[править | править код]

Основная теорема римановой геометрии. Пусть (M, g) — риманово многообразие (или псевдориманово многообразие). Тогда существует единственная аффинная связность ∇, удовлетворяющая следующим условиям:

для любых векторных полей X, Y, Z выполняется

$\partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle ,$

где $\partial _{X}\langle Y,Z\rangle$ означает производную функции $\langle Y,Z\rangle$ вдоль векторного поля X.

для любых векторных полей X, Y

$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],$

где [ X, Y ] означает скобку Ли векторных полей X, Y.

Первое условие означает, что метрический тензор сохраняется при параллельном переносе, а второе условие выражает тот факт, что кручение связности равно нулю.

Обобщение фундаментальной теоремы утверждает, что и на псевдоримановом многообразии существует единственная связность, сохраняющая метрический тензор с любой заданной векторнозначной 2-формой в качестве его кручения.

Доказательство[править | править код]

Следующее техническое доказательство представляет собой формулу символов Кристоффеля связности в локальной системе координат. Для конкретной метрики эта система уравнений может стать достаточно сложной. Существуют более быстрые и простые методы получения символов Кристоффеля для конкретной метрики — например, с использованием интеграла действия и связанных с ним уравнений Эйлера-Лагранжа.

Пусть m — размерность многообразия M. В некоторой локальной карте рассмотрим стандартные координатные векторные поля

{\partial }_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\qquad i=1,\dots ,m

.

Локально элемент g_ij метрического тензора имеет вид

g_{ij}=\left\langle {\partial }_{i},{\partial }_{j}\right\rangle

.

Чтобы задать связность, достаточно для всех i, j и k определить

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle

.

Напомним, что локально связность задается m ³ гладкими функциями

\left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\}

,

где

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\sum _{l}\Gamma _{ij}^{l}\partial _{l}

.

Условие отсутствия кручения означает, что

\nabla _{\partial _{i}}\partial _{j}=\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}

.

С другой стороны, совместимость с римановой метрикой записывается как

\partial _{k}g_{ij}=\left\langle \nabla _{\partial _{k}}\partial _{i},\partial _{j}\rangle +\langle \partial _{i},\nabla _{\partial _{k}}\partial _{j}\right\rangle

.

Для фиксированных i, j и k перестановки дают 3 уравнения с 6 неизвестными. Предположение об отсутствии кручения сокращает количество переменных до трёх. Полученная системы из трёх линейных уравнений имеет единственное решение

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle ={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)

.

Это первое тождество Кристоффеля.

Далее, заметим, что

\left\langle \nabla _{\partial _{i}}\partial _{j},\partial _{k}\right\rangle =\Gamma _{ij}^{l}g_{lk}

,

где мы используем соглашение Эйнштейна, то есть парные верхний и нижний индекс означают, что происходит суммирование по всем значениям этого индекса. Обращением метрического тензора получаем второе тождество Кристоффеля:

\Gamma _{ij}^{l}={\tfrac {1}{2}}\left(\partial _{i}g_{jk}-\partial _{k}g_{ij}+\partial _{j}g_{ik}\right)g^{kl}

.

Полученная связность и является связностью Леви-Чевиты.

Формула Кошуля[править | править код]

Альтернативное доказательство основной теоремы римановой геометрии состоит в том, чтобы показать, что метрическая связность без кручения на римановом многообразии M обязательно задается формулой Кошуля:

{\begin{array}{ll}2g(\nabla _{X}Y,Z)&=\,X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Y))\\&\quad +\,g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X),\end{array}}

,

где векторное поле $X$ действует естественным образом на гладких функциях на римановом многообразии по формуле $Xf=\partial _{X}f$ .

Предположим, что связность удовлетворяет условиям симметричности

\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]

и совместимости с метрикой

Xg(Y,Z)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z)

.

Тогда сумму $Xg(Y,Z)+Yg(X,Z)-Zg(Y,X)$ можно упростить, что и приводит к формуле Кошуля.

При этом выражение для $g(\nabla _{X}Y,Z)$ однозначно определяет $\nabla _{X}Y$ , и напротив, формулу Кошуля можно использовать для задания $\nabla _{X}Y$ , каковым способом обычно и проверяют, что связность $\nabla _{X}$ является симметричной и согласованной с метрикой g^[1].