Аффинная связность

Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.

Определение

Пусть M — гладкое многообразие и $C^\infty(M,TM)$ обозначает пространство векторных полей на M. Тогда аффинная связность на M — это билинейное отображение

$\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y, \end{matrix}$

такое, что для любой гладкой функции f ∈ C^∞(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

1. $\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$, то есть, $\nabla$ линейно по первому аргументу;
2. $\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$, то есть $\nabla$ удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения

• Кручением афинной связности называется вырaжение

  $U(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]$

здесь $[{*},{*}]$ — скобки Ли

• Аффинная связность с нулевым кручением на римановом многообразии, относительно которой метрический тензор ковариантно постоянен, называется связностью Леви-Чивиты.

• Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Литература

• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0

См. также

• Ковариантная производная
• Символы Кристоффеля.