Аффинная связность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Аффи́нная свя́зность — линейная связность на касательном расслоении многообразия. Координатными выражениями аффинной связности являются символы Кристоффеля.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть M — гладкое многообразие и C^\infty(M,TM) обозначает пространство векторных полей на M. Тогда аффинная связность на M — это билинейное отображение

\begin{matrix}
C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\
(X,Y) & \mapsto & \nabla_X Y,
\end{matrix}

такое, что для любой гладкой функции fC(M,R) и любых векторных полей X, Y на M:

  1. \nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y, то есть, \nabla линейно по первому аргументу;
  2. \nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY, то есть \nabla удовлетворяет правилу Лейбница по второй переменной.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Кручением афинной связности называется вырaжение
    U(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]
здесь [{*},{*}] скобки Ли
  • Аффинная связность, для которой выполняется только условие римановости, называется римановой связностью.

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0

См. также[править | править вики-текст]