Особая точка (дифференциальные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости[править | править исходный текст]

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

\dot x=Ax,

где x=(x_1,x_2) — точка на плоскости, Aматрица 2\times 2. Очевидно, точка x=(0,0) в случае невырожденной матрицы A является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы A, различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр окружности, эллипсы Phase portrait center.svg
Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали Phase Portrait Stable Focus.svg
Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали Phase Portrait Unstable Focus.svg
Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы Phase Portrait Stable Node.svg
Действительные положительные Неустойчивый узел параболы Phase Portrait Unstable Node.svg
Действительные разных знаков Седло гиперболы Phase Portrait Sadle.svg