Транснеравенство, также известное как перестановочное неравенство или неравенство об одномонотонных последовательностях, утверждает, что скалярное произведение двух наборов чисел является максимально возможным, если наборы одномонотонны (то есть оба одновременно неубывающие или одновременно невозрастающие), и минимально возможным, если наборы противоположной монотонности (то есть один неубывающий, а другой невозрастающий).
Другими словами, если и , то для произвольной перестановки чисел выполняется неравенство:
В частности, если , то независимо от упорядочивания .
Основная идея доказательства состоит в том, что если для некоторых , то, поменяв местами значения и , мы не уменьшим значение суммы .
Рассмотрим указанную сумму для некоторой перестановки и такой пары . Рассмотрим перестановку, образуемую из инверсий этой пары.
По определению,
Согласно выбору и предположению об упорядоченности , справедливо неравенство , так что .
Следовательно, мы можем уменьшать число инверсий, не уменьшая значения (например, исправляя инверсии в порядке сортировки пузырьком). В итоге такой процесс приведёт к превращению в , так что .
Пусть даны упорядоченных последовательностей . Обозначим . Тождественную перестановку по-прежнему будет обозначать как .
Тогда для любого набора .
Доказательство
Доказывается аналогично обычному перестановочному неравенству (частному случаю этого при ).
Не ограничивая общности, будем предполагать, что , поскольку иначе можно просто умножить все перестановки на , не изменив значение суммы.
Если хотя бы одна из перестановок отлична от , то для неё (обозначим её ) существуют такие, что .
Тогда, если во всех перестановках из набора , для которых \sigma (i) > \sigma (j), поменять местами значения и , то значение не уменьшиться, а общее количество инверрсий среди станет меньше.
Производя такие действия нужное (конечное) количество раз, придём к набору , не уменьшив значение .
По определению выпуклой функции, если , то , то есть . Подствляя и прибавляя к обоим величину , получаем . Иными словами, чем больше аргумент, тем больше изгиб функции вверх, и тем более ценнее для максимизации суммы прибавлять большее значение именно туда.
Как и в доказательстве обычного перестановочного неравенства, выберем такие, что .
Тогда, как описано выше, . Это позволяет провести индукцию, аналогичную обычному случаю.
Умножая все значения на , можно вывести аналогичное неравенство, но со знаком в другую сторону, для вогнутых функций.
Перестановочное неравенство интересно тем, что позволяет интуитивно объединить на общей основой внешне совершенно непохожие, применяемые в разных областях математики, числовые неравенства.
В этом разделе рассматриваются наборы чисел длины и подразумевается, что обозначение при обозначает , то есть зацикленность индексов.
Согласно перестановочному неравенству, для любого выполняется .
Из этого выводится частный случай неравенства Коши-Буняковского:
Аналогично, разбивая сумму на частей по всем возможным -мерным сдвигам индексов и используя обобщение на несколько перестановок, выводится более общее неравенство для целых :
Если нормировать значения и таким образом, чтобы выполнялось , то как следствие получается неравенство Коши-Буняковского. Для этого достаточно разделить все на , а все на . Поскольку неравенство Коши-Буняковского допускает такие деления без изменения истинности, то это доказывает утверждение.
Неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим элементарно выводится из доказанного выше частного случая неравенства Коши-Буняковского.