Выпуклая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Выпуклая функция, её график выделен синим и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклая функция — функция, у которой надграфик является выпуклым множеством.

Определение[править | править вики-текст]

Вещественнозначная функция, определённая на некотором интервале (в общем случае на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства), выпукла, если для любых двух значений аргумента x, y и для любого числа t\in[0,1] выполняется неравенство Йенсена:

f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)

Если это неравенство является строгим для всех t \in (0,1) и x\ne y, то функция называется строго выпуклой; если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой, или выпуклой вверх.

NB! Иногда выпуклая функция определяется как вогнутая и наоборот.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция f, выпуклая на интервале \mathbb{I}, непрерывна на всём \mathbb{I}, дифференцируема на всём \mathbb{I} за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.
  • Непрерывная функция f выпукла на \mathbb{I} тогда и только тогда, когда для всех точек x, y \in \mathbb{I} выполняется неравенство
    f\left(\frac{x+y}{2} \right) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}
  • Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной, проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.
  • Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция f(x)=x^4 строго выпукла на [-1,1], но её вторая производная в точке x=0 равна нулю).
  • Если функции f, g выпуклы, то любая их линейная комбинация af+bg с положительными коэффициентами a, b также выпукла.
  • Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом).
  • Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.
  • Для выпуклых функций выполняется неравенство Йенсена:
f\left(E(X)\right) \leq E(f(X)),
где X — случайная величина со значениями в области определения функции f, E — математическое ожидание.

См. также[править | править вики-текст]