Перестановка

В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел $1, 2,\ldots, n,$ обычно трактуемый как биекция на множестве $\{ 1, 2,\ldots, n \}$, которая числу i ставит соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки.

В теории групп под перестановкой (подстановкой) произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя.

Свойства

• Число всех перестановок порядка n равно числу размещений из n по n, то есть факториалу:

$P_n=A_n^n=\frac {n!}{(n-n)!}=\frac {n!}{0!}=n!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot n.$

• Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка: $(\pi\cdot\sigma)(k) = \pi(\sigma(k)).$ Относительно этой операции множество перестановок порядка n образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают S_n.
• Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы (теорема Кэли). При этом каждый элемент $a \in G$ сопоставляется с перестановкой π_a, задаваемой тождеством $\pi_a(g)=a \circ g,$ где g — произвольный элемент группы G, а $\circ$ — групповая операция.

Связанные определения

• Носитель перестановки $\pi\colon X\to X$ — это подмножество множества X, определяемое как $\operatorname{supp}(\pi)=\{x\in X\mid\pi(x)\ne x\}.$
• Неподвижной точкой перестановки π является всякая неподвижная точка отображения $\pi\colon X\to X$, то есть элемент множества $\{x\in X\mid\pi(x)=x\}.$ Множество всех неподвижных точек перестановки π является дополнением её носителя в X.
• Инверсией в перестановке π порядка n называется всякая пара индексов i,j такая, что $1\leqslant i<j\leqslant n$ и π(i) > π(j). Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки.
• Знак перестановки определяется как +1 для чётной перестановки и −1 для нечётной, что выражается формулой sgn(σ) = ( − 1)^N(σ), где N(σ) — количество инверсий в перестановке σ. Знак перестановки σ может быть также определен как sgn(σ) = ( − 1)^m, где m — количество транспозиций в разложении σ в произведение транспозиций. Несмотря на то, что такое разложение не единственно, чётность количества транспозиций во всех разложениях σ одна и та же, и поэтому знак перестановки корректно определён.

Специальные типы перестановок

• Инволюция — перестановка τ, которая является обратной самой себе, то есть $\tau\cdot\tau=id.$
• Беспорядок — перестановка без неподвижных точек.
• Циклом длины $\ell$ называется такая подстановка π, которая тождественна на всём множестве X, кроме подмножества $\{x_1,x_2,\dots,x_\ell\}\subset X$ и $\pi(x_\ell)=x_1, \pi(x_i)=x_{i+1}.$ Обозначается $(x_1,x_2,\dots,x_\ell).$
• Транспозиция — перестановка элементов множества X, которая меняет местами два элемента. Транспозиция является циклом длины 2.

Подстановки и произведения циклов

Перестановка π множества X может быть записана в виде подстановки, например:

$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\ y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_n\end{pmatrix},$

где $\{x_1,\dots, x_n\}=\{y_1,\dots, y_n\}=X$ и π(x_i) = y_i.

Перестановку также можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:

$(1, 5, 2)(3, 6)(4)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3\end{pmatrix}.$

Перестановки с повторением

Рассмотрим n элементов k различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если n_i — число элементов i-го типа, то $n=n_1+n_2+\dots+n_k$ и количество всевозможных перестановок с повторениями равно мультиномиальному коэффициенту $\textstyle \binom{n}{n_1,\dots,n_k}$.

Случайная перестановка

Случайной перестановкой называется случайный вектор $\xi=(\xi_1, \ldots , \xi_n),$ все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до n, и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.

Независимой случайной перестановкой называется такая случайная перестановка ξ, для которой

$P\{\xi=\sigma\}=\frac{p_{1\sigma(1)}\ldots p_{n\sigma(n)}}{\sum\limits_{\pi \in S_n}p_{1\pi(1)}\ldots p_{n\pi(n)}}$

для некоторых p_ij, таких что

$\forall i (1\leqslant i \leqslant n): p_{i1}+\ldots + p_{in}=1$

$\sum\limits_{\pi \in S_n}p_{1\pi(1)}\ldots p_{n\pi(n)}>0.$

Если при этом p_ij не зависят от i, то перестановку ξ называют одинаково распределённой. Если же нет зависимости от j, то есть $\scriptstyle \forall i,j (1\le i,j \le n): p_{ij}=1/n,$ то ξ называют однородной.

Литература

• Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 824. — ISBN 0-201-89685-0.

См. также

• Гигантская компонента
• Сочетание
• Размещение
• Анаграмма

Ссылки

• Аранжеман // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.