Пространство дифференцируемых функций

Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве $\Omega \subset R^{n}$ гладких функций с порядком гладкости $k$, где k — натуральное число ($k\in \mathbb {N}$). Обозначения: $C^{k}$, $C^{k}(\Omega )$ . Все функции из $C^{k}$ обладают непрерывными производными вплоть до $k$-го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество всех определенных на компакте $\Omega \subset R^{n}$ функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: $C^{\infty },C^{\infty }(\Omega )$

Для любого $k$ пространство $C^{k}(\Omega )$ содержит в себе пространство $C^{k+p}(\Omega ),\forall p\in \mathbb {N}$, а также пространство $C^{\infty }(\Omega )$ в качестве своего подмножества: $C^{1}\supset C^{2}\supset ...\supset C^{\infty }$ .

Свойства пространств $C^{k}(\Omega )$

• $\forall k,C(\Omega )\supset C^{k}(\Omega )$, где $C(\Omega )$ — пространство непрерывных функций.
• $\forall k,C^{k}(\Omega )$ — Банахово пространство. Норма в этом пространстве: $\forall f\in C^{k}(\Omega ):\|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\max _{x\in \Omega }|f^{(l)}(x)|$, где $f^{(0)}(x)=f(x)$, $f^{(l)}(x)={d^{l}f(x) \over dx^{l}}$ .

Также эту норму можно записать в виде $\|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_{C}$ .