Рефлексивное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Рефлексивное пространство — банахово пространство (в более общем случае локально выпуклое пространство) X, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным X^{**}.

Рефлексивные банаховы пространства[править | править исходный текст]

Пусть X — банахово пространство над полем {\Bbb C} комплексных чисел[1], а X^* — пространство, сопряженное к X, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов f:X\to{\Bbb C} с нормой

||f||=\sup_{||x||\le 1}|f(x)|.

Второе сопряженное пространство X^{**} определяется как пространство, сопряженное к X^*. При фиксированном x\in X отображение f\in X^*\mapsto f(x)\in{\Bbb C} является линейным непрерывным функционалом на X^*, то есть элементом пространства X^{**}. Поэтому определено отображение J_X:X\to X^{**}, J_X(x)(f)=f(x), x\in X, f\in X^*. Если оно является изоморфизмом банаховых пространств, то банахово пространство X называется рефлексивным. Достаточным условием для этого является сюръективность отображения J_X:X\to X^{**}, то есть условие J_X(X)= X^{**}.

Примеры:

  • Пространства \ell_p и L_p(a,b), 1<p<\infty, рефлексивны,
  • Пространства C[a,b], L_1[a,b], L_\infty[a,b] не рефлексивны.

Свойства:

  • Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда X^* рефлексивно.
  • Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
  • Рефлексивное пространство слабо полно. Обратное неверно, существуют слабо полные нерефлексивные пространства, например L_1.
  • Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

Рефлексивные локально выпуклые пространства[править | править исходный текст]

Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

Для всякого локально выпуклого пространства X обозначим через X^* пространство линейных непрерывных функционалов на X, наделенное сильной топологией \beta(X',X), то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах в X. Пространство X^* называется сопряженным пространством к пространству X. Как и в банаховом случае второе сопряженное пространство X^{**} определяется как пространство, сопряженное к X^*. Формула J_X(x)(f)=f(x), x\in X, f\in X^* определяет естественное отображение пространства X во второе сопряженное пространство X^{**}.

Если отображение J_X:X\to X^{**} является изоморфизмом локально выпуклых пространств, то пространство X называется рефлексивным локально выпуклым пространством.

Примеры:

  • В частном случае, когда пространство X банахово, его рефлексивность как банахова пространства эквивалентна его рефлексивности как локально выпуклого пространства.
  • Пространство {\mathcal C}^\infty(M) гладких функций на гладком многообразии M рефлексивно.
  • Пространство {\mathcal O}(M) голоморфных функций на комплексном аналитическом многообразии M рефлексивно.

Стереотипные пространства и другие обобщения рефлексивности[править | править исходный текст]

Среди всех локально выпуклых пространств (даже среди всех банаховых пространств) используемых в функциональном анализе класс рефлексивных пространств слишком узок, чтобы образовывать самодостаточную категорию в каком-нибудь смысле. Отражаемая этим понятием идея двойственности, однако, рождает интуитивные ожидания, что подходящие изменения в определении рефлексивности могут привести к другому понятию, более удобному для внутренних целей математики. Одной из таких целей может считаться идея приближения анализа к другим частям математики, таким как алгебра и геометрия путем переформулировки результатов анализа на чисто алгебраическом языке теории категорий.

Эта программа разрабатывается в теории стереотипных пространств, определяемых как локально выпуклые пространства удовлетворяющие похожему условию рефлексивности, однако с топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах (вместо ограниченных множеств) в определении пространства X^*. По контрасту с классическими рефлексивными пространствами класс Ste стереотипных пространств весьма широк (он содержит, в частности, все пространства Фреше и поэтому все банаховы пространства), он образует замкнутую моноидальную категорию, и он допускает стандартные операции (определенные внутри Ste) построения новых пространств, такие как взятие замкнутого подпространства, отделимого фактор-пространства, проективные и инъективные пределы, пространства операторов, тензорные произведения, и т. д. Категория Ste имеет приложения в теории двойственности некоммутативных групп.

Аналогично можно заменять класс ограниченных (и вполне ограниченных) подмножеств в X в определении сопряженного пространства X^* другими классами подмножеств, например, классом компактных подмножеств вX — пространства определенные соответствующим условием рефлексивности называются рефлективными[2][3], и они образуют даже более широкий класс чем Ste, однако неизвестно (2012), образует ли этот класс категорию со свойствами, близкими к свойствам Ste.

Литература[править | править исходный текст]

  • Шефер Х. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1971.
  • Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
  • Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
  • Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
  • Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
  • Функциональный анализ / редактор С.Г.Крейн. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
  • Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. …или над полем \mathbb{R} вещественных чисел с аналогичным определением.
  2. Garibay Bonales, F.; Trigos-Arrieta, F.J., Vera Mendoza, R. (2002). «A characterization of Pontryagin-van Kampen duality for locally convex spaces». Topology and its Applications 121: 75–89.
  3. Akbarov, S. S.; Shavgulidze, E. T. (2003). «On two classes of spaces reflexive in the sense of Pontryagin». Mat. Sbornik 194 (10): 3–26.