Рефлексивное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Рефлексивное пространство — банахово пространство X, совпадающее при каноническом вложении со своим вторым сопряженным X ^{* *} .

Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Свойства 4 Вариации и обобщения 5 Литература

[править] Определение

Пусть X ^* — пространство, сопряженное с X, то есть совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на X. Если — значение функционала на элементе , то при фиксированном x и f, пробегающем X ^* , выражение будет линейным функционалом на X ^* , то есть элементом пространства X ^{* *} . Пусть — множество таких функционалов. Соответствие есть изоморфизм, не меняющий нормы .

Если , то пространство X называется рефлексивным.

[править] Примеры

• Пространства и L_p(a,b), p > 1, рефлексивны,
• Пространство C[a,b] не рефлексивно.

[править] Свойства

• Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда X ^* рефлексивно.
• Пространство X рефлексивно тогда и только тогда, когда единичный шар этого пространства слабо компактен.
• Рефлексивное пространство слабо полно,
• Замкнутое подпространство рефлексивного пространства рефлексивно.

[править] Вариации и обобщения

• Понятие рефлексивности естественным образом распространяется на локально выпуклые пространства.

[править] Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.