Алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).
Трёхмерный правильный коноид, описанный алгебраическими тригонометрическими уравнениями
x=v \times \cos(u), y=v \times \sin(u), z=2 \times \sin(u)

А́лгебра (от араб. الجبر‎‎, «аль-джабр» — восполнение[1]) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[2].

Алгебра — это наука, изучающая алгебраические системы с точностью до изоморфизма[3].

Алгебра — упорядоченная пара множеств A(R,E). Первое множество (R) — элементы какой либо природы (числа, понятия, буквы). Второе множество (E) — операции над первым множеством (сложение, умножение, возведение в степень). Примеры: группа, кольцо, поле.

Содержание

Классификация [править]

Алгебру можно грубо разделить на следующие категории:

В некоторых направлениях углублённого изучения, аксиоматические алгебраические системы, такие как группы, кольца, поля и алгебры над полем на присутствие геометрических структур (метрик и топологий), совместимых с алгебраическими структурами. Список некоторых разделов функционального анализа:

Элементарная алгебра [править]

Основная статья: Элементарная алгебра

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (a, b, c, x, y и так далее). Такой подход полезен, потому что:

  • Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, a+b=b+a для любых a и b), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
  • Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что 3x + 1 = 10» или, в более общем случае, «Найти число x, такое что ax + b = c». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
  • Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали x билетов, то ваша прибыль составит 3x − 10 рублей, или f(x) = 3x − 10, где f — функция, и x — число, от которого зависит функция.»)

Линейная алгебра [править]

Основная статья: Линейная алгебра

Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)[4]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств[5].

Линейное, или векторное пространство V \left( F \right) над полем F  — это упорядоченная четвёрка (V,F,+,\cdot), где

V — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
F  — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
+\colon V\times V\to V  — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов \mathbf{x}, \mathbf{y} множества V единственный элемент множества V, обозначаемый \mathbf{x} + \mathbf{y};
\cdot\colon F\times V\to V  — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу \lambda поля \in F и каждому элементу \mathbf{x} множества V единственный элемент множества V, обозначаемый \lambda\mathbf{x};

причём, заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. \mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}\in V (коммутативность сложения);
  2. \mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}, для любых \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент \theta \in V, что \mathbf{x} + \theta = \mathbf{x} для любого \mathbf{x} \in V (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности V не пусто;
  4. для любого \mathbf{x} \in V существует такой элемент -\mathbf{x} \in V, что \mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. \alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x} (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. 1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. (\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности с теорией линейных представлений групп[5].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа[4]. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории[5].

Общая алгебра [править]

Основная статья: Общая алгебра

Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов[2]. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре[6].

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли[6].

Теория групп [править]

Основная статья: Теория групп

Непустое множество G с заданной на нём бинарной операцией \,*\,\colon G \times G \to G называется группой (G,*), если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: \forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c);
  2. наличие нейтрального элемента: \exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a);
  3. наличие обратного элемента: \forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)
Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец [править]

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. \forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right) — коммутативность сложения;
  2. \forall a, b, c \in R \left(a + (b + c)) = ((a + b) + c\right) — ассоциативность сложения;
  3. \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right) — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. \forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c) — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[7])
  6. \forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right.  — дистрибутивность.

Универсальная алгебра [править]

Основная статья: Универсальная алгебра

Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: \mathfrak A = \langle A, F, R\rangle, F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle, R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle. Множество A в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями \langle F, R, \langle n_1, \dots n_i, \dots \rangle , \langle m_1 \dots m_i, \dots \rangle \rangle — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, и операция + дистрибутивна слева и справа относительно \times. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов \mathbf{End} \mathfrak A, группа всех автоморфизмов \mathbf{Aut} \mathfrak A, решётки всех подалгебр \mathbf{Sub} \mathfrak A и всех конгруэнций \mathbf{Con} \mathfrak A[8].

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры[6].

Исторический очерк [править]

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения[9]. Это же правило, правда крайне редко, использовали вавилоняне[10].

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем, метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени[11]. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности «площадь» и «длина» считались однородными[10]. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами[11].

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Апполония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений[12]. Вместе с тем, к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников[13]. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение x^3+ax+b=0. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений[14].

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов[15]. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрии[16].

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения. Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В 13 веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя.[17]

Как наука, алгебра стала существовать благодаря мусульманскому учёному из Средней Азии Аль-Хорезми. Впервые термин «алгебра» встретился в 825 году в сочинении этого учёного «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение»[1].

В 12 веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространения получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

Ссылки [править]

Примечания [править]

  1. ↑ 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.
  2. ↑ 1 2 Алгебра. Большая советская энциклопедия. Архивировано из первоисточника 5 января 2013. Проверено 29 декабря 2012.
  3. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  4. ↑ 1 2 Линейная алгебра. Большая советская энциклопедия. Архивировано из первоисточника 27 декабря 2012. Проверено 20 декабря 2012.
  5. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Линейная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  6. ↑ 1 2 3 Виноградов И. М. Общая алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  7. ↑ Алгебра — статья из Математической энциклопедии
  8. ↑ Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
  9. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 29—30
  10. ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 42
  11. ↑ 1 2 История математики, т. I, 1970, с. 42—46
  12. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 78—80
  13. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 82—86
  14. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 86—87
  15. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 144—146
  16. ↑ История математики, т. I, 1970, с. 146—150
  17. ↑ М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»

Литература [править]

п·о·р
Разделы математики
 
Портал «Наука»
Портал «Математика» | Категория «Математика»
Источник — «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Алгебра&oldid=54840434»