Lp (пространство)

$L^p$ (также встречается обозначение $L_p$; читается «эль-пэ»; также Лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их $p$-я степень интегрируема, где $p \geqslant 1$.

$L^p$ — важнейший класс банаховых пространств. $L_2$ (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение пространства L^p

Определение 1. Пусть дано пространство с мерой $(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$. Фиксируем $1 \leqslant p < \infty$ и рассмотрим множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что

$\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.$

Обозначим это множество $\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ или просто $\mathcal{L}^p$.

Теорема 1. Пространство $\mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ линейно. Доказательство следует из элементарных свойств интеграла Лебега, а также неравенства Минковского.

На этом линейном пространстве можно ввести полунорму:

$\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}.$

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы.

Замечание 1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если $f(x) = 0$ почти всюду, то $\|f\|_p = 0$, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.

Определение 2. Введём на $\mathcal{L}^p$ отношение эквивалентности. Будем говорить, что $f \sim g$, если $f(x) = g(x)$ почти всюду.

Это отношение разбивает пространство $\mathcal{L}^p$ на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают.

Тогда на построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) $\mathcal{L}^p/\sim$ можно ввести норму равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Определение 3. Факторпространство $\left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right)$ с построенной на нём нормой называется пространством $L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ или просто $L^p$.

Замечание 2. Чаще всего вышеизложенное построение имеют в виду, но не упоминают явно. Тогда элементами $L^p$ называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, «определённые с точностью до меры нуль».

 Комментарий: при $0<p<1$, $L_p$ не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрическое пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота пространства L^p

Введённая выше норма вместе с линейной структурой порождает метрику

$d(f,\;g) = \|f-g\|_p,$

а следовательно и понятие сходимости.

Определение 3. Пусть есть последовательность функций $\{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p$. Тогда эта последовательность сходится к функции $f\in L^p$, если

$\|f_n-f\|_p \to 0$ при $n \to \infty.$

Теорема 2. Пространство $L^p$ полно, то есть любая фундаментальная последовательность в $L^p$ сходится к элементу этого же пространства. Таким образом $L^p$ — банахово пространство.

Пространство L²

В случае $p=2$ введённая выше норма порождается скалярным произведением. Таким образом вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция и пр.

Определение 4. Введём на пространстве $L^2$ скалярное произведение следующим образом:

$\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx),$

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или

$\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx),$

если они вещественные. Тогда, очевидно,

$\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},$

то есть норма порождается скалярным произведением. Используя это вместе с результатом о полноте любого $L^p$, заключаем, что имеет место

Теорема 3. Пространство $L^2$ гильбертово.

Пространство L^∞

Рассмотрим пространство $\mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu)$ измеримых функций, ограниченных почти всюду. Отождествив между собой функции, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению

$\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)|,$

получим полное нормированное, то есть банахово пространство.

Метрика, порождаемая этой нормой, называется равномерной. Так же называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

$f_n \to f$ в $L^{\infty}$, если $\mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0$ при $n \to \infty$.

Свойства пространств L^p

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве $L^p$. Пусть $f_n(x)=n^{1/p}$ при $x\in(0,1/n]$ и $f_n(x)=0$ при $x\in(1/n,1]$, $f_n\in L^p$. Тогда $f_n \to 0$ почти всюду. Но $\|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1$. Обратное также неверно.
• Если $\|f_n-f\|_p \to 0$ при $n\to \infty$, то существует подпоследовательность $f_{n_k}$, такая что $f_{n_k} \to f$ почти всюду.
• $L^p$ функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть $L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)$ — подмножество $L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)$, состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда $L^p_{C^{\infty}}$ всюду плотно в $L^p$.
• $L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m)$ — сепарабельно при $p<\infty$.
• Если $\mu$ — конечная мера, например, вероятность, и $1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty$, то $L^q \subset L^p$. В частности, $L^2 \subset L^1$, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Пространства сопряжённые к L^p

Пространством $\left(L^p\right)^{\star}$ называется пространство линейных функционалов на $L^p$. Это пространство сопряжённое к $L^p$ (копространство).

Теорема 4. Если $1 < p < \infty$, то $\left(L^p\right)^{\star}$ изоморфно $L^q$ (пишем $\left(L^p\right)^{\star} \cong L^q$), где $1/p+1/q=1$. Любой линейный функционал на $L^p$ имеет вид:

$g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),$

где $\tilde{g}(x)\in L^q$.

В силу симметрии уравнения $1/p+1/q=1$, само пространство $L^p$ дуально (с точностью до изоморфизма) к $L^q$, а следовательно:

$\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.$

Этот результат справедлив и для случая $p=1$, то есть $\left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}$. Однако, $\left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1$ и, в частности, $\left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1$.

Пространства l^p, 1 ≤ p ≤ ∞

Пусть $(X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)$, где $m$ — счётная мера на $\mathbb{N}$, то есть $m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}$. Тогда если $p<\infty$, то пространство $\ell^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right)$ представляет собой семейство последовательностей $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$, таких что

$\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.$

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

$\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.$

Получившееся нормированное пространство обозначается $\ell^p$.

Если $p=\infty$, то мы рассматриваем пространство ограниченных последовательностей с нормой

$\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.$

Получившееся пространство называется $\ell^\infty$. Оно является примером не сепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив $p=2$, мы получаем гильбертово пространство $\ell^2$, чья норма порождена скалярным произведением

$\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n},$

если последовательности комплекснозначные, и

$\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},$

если они вещественны.

Пространство, дуальное к $\ell^p$, где $1 < p < \infty$ изоморфно $\ell^q$, $1/p+1/q=1$. Для $p=1: \left(\ell^1\right)^{\star} = \ell^{\infty}$. Однако, $\left(\ell^{\infty}\right)^{\star} \not\cong \ell^1$.

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.