Lp (пространство)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Пространство Lp»)
Перейти к: навигация, поиск

L^p (также встречается обозначение L_p; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их p-я степень интегрируема, где p \geqslant 1.

L^p — важнейший класс банаховых пространств. L^2 (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение[править | править вики-текст]

Для построения пространств L^p используются \mathcal{L}^p-пространства. Пространство \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) для пространства с мерой (X,\;\mathcal{F},\;\mu) и 1 \leqslant p < \infty — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) < \infty.

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) линейно.

На линейном пространстве \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) вводится полунорма:

\|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}}.

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы[1]

Далее, на \mathcal{L}^p вводится отношение эквивалентности: f \sim g, если f(x) = g(x) почти всюду. Это отношение разбивает пространство \mathcal{L}^p на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) \mathcal{L}^p/\sim можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство \left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right) с построенной на нём нормой, и называется пространством L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) или просто L^p.

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами L^p называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При 0<p<1, L^p не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника[2], однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота[править | править вики-текст]

Норма на L^p вместе с линейной структурой порождает метрику:

d(f,\;g) = \|f-g\|_p,

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p называют сходящейся к функции f\in L^p, если:

\|f_n-f\|_p \to 0 при n \to \infty.

Согласно теореме Риса — Фишера[en], пространство L^p полно, то есть любая фундаментальная последовательность в L^p сходится к элементу этого же пространства. Таким образом L^p — банахово пространство.

Пространство L²[править | править вики-текст]

В случае p=2 норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве L^2 вводится следующим образом:

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx),

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

\langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx),

если они вещественные. Тогда, очевидно:

\|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle},

то есть норма порождается скалярным произведением. В виду полноты любого L^p следует, что L^2 — гильбертово.

Пространство L[править | править вики-текст]

Пространство L^\infty строится из пространства \mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu) измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

\|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)|, где \mathrm{ess} \sup — существенный супремум функции.

L^\infty — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой \| \cdot \|_\infty, называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

f_n \to f в L^{\infty}, если \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 при n \to \infty.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве L^p. Пусть f_n(x)=n^{1/p} при x\in(0,1/n] и f_n(x)=0 при x\in(1/n,1], f_n\in L^p. Тогда f_n \to 0 почти всюду. Но \|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1. Обратное также неверно.
  • Если \|f_n-f\|_p \to 0 при n\to \infty, то существует подпоследовательность f_{n_k}, такая что f_{n_k} \to f почти всюду.
  • L^p функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — подмножество L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m), состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда L^p_{C^{\infty}} всюду плотно в L^p.
  • L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) — сепарабельно при p<\infty.
  • Если \mu — конечная мера, например, вероятность, и 1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty, то L^q \subset L^p. В частности, L^2 \subset L^1, то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства[править | править вики-текст]

Для пространств \left(L^p\right)^{\star}, сопряжённое к L^p (пространств линейных функционалов на L^p) имеет место следующее свойство: если 1 < p < \infty, то \left(L^p\right)^{\star} изоморфно L^q (\left(L^p\right)^{\star} \cong L^q), где 1/p+1/q=1. Любой линейный функционал на L^p имеет вид:

g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx),

где \tilde{g}(x)\in L^q.

В силу симметрии уравнения 1/p+1/q=1, само пространство L^p дуально (с точностью до изоморфизма) к L^q, а следовательно:

\left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p.

Этот результат справедлив и для случая p=1, то есть \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty}. Однако, \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 и, в частности, \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1.

Пространства p[править | править вики-текст]

Пусть (X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right), где m — счётная мера на \mathbb{N}, то есть m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N}. Тогда если p<\infty, то пространство \ell^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) представляет собой семейство последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что:

\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p < \infty.

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

\|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}.

Получившееся нормированное пространство обозначается \ell^p.

Если p=\infty, то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

\|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n|.

Получившееся пространство называется \ell^\infty, оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив p=2, получается гильбертово пространство \ell^2, чья норма порождена скалярным произведением:

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n  \overline{y_n},

если последовательности комплекснозначные, и:

\langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n},

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с \ell^p, где 1 < p < \infty изоморфно \ell^q, 1/p+1/q=1. Для p=1: \left(\ell^1\right)^{\star} = \ell^{\infty}. Однако, \left(\ell^{\infty}\right)^{\star} \not\cong \ell^1.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Введённая таким образом полунорма не является нормой, ибо если f(x) = 0 почти всюду, то \|f\|_p = 0, что противоречит требованиям к норме. Чтобы превратить пространство с полунормой в пространство с нормой, необходимо «отождествить» функции, различающиеся между собой лишь на множестве меры нуль.
  2. Точнее, выполняется обратное неравенство треугольника — при 0<p<1: \forall f,g\in L_p(\Omega)\colon\,\left(\int\limits_\Omega|f(x)+g(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}\geqslant \left(\int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}+\left(\int\limits_\Omega |g(x)|^p dx\right)^\frac{1}{p}

Литература[править | править вики-текст]