Сепарабельное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепара́бельное расшире́ние — алгебраическое расширение поля E \supset  K, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов \alpha, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть по вышеуказанному ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.

Для конечных расширений имеем следующую теорему:

Если K \subset E \subset K^*, где K^* — алгебраическое замыкание поля K, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов \sigma поля E в алгебраическое замыкание K^* над K равно степени [E:K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E:K] и называется сепарабельной степенью [E:K]_s (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений[править | править вики-текст]

  • Пусть K \subseteq E \subseteq F. Если E \supseteq K и F \supseteq E сепарабельны, то и F \supseteq K сепарабельно. Обратно, если F \supseteq K сепарабельно, то и E \subseteq K и F \subseteq E сепарабельны.
  • Если E \supseteq K сепарабельно, то для любого расширения F \supseteq K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является сепарабельным расширением K.

Теорема о примитивном элементе:

Если E=K(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n), где \alpha_1 алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а \alpha_2, ..., \alpha_n — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент \theta, что E=K(\theta) (т. н. примитивный элемент).

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения[править | править вики-текст]

Вначале введём понятие линейной свободы двух расширений E \supseteq K и L \supseteq K. E называется линейно свободным от L над K, если любое конечное множество элементов E линейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Легко доказывается симметричность этого определения: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.

Обозначим K^{p^{-m}} — расширение поля, порождённое присоединением всех корней степени p^m из элементов K. Расширение E над K называется сепарабельным, если E для некоторого натурального m линейно свободно от K^{p^{-m}} над K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. Можно доказать, что от числа m данное определение не зависит и равносильно линейной свободе E и K^{p^{-\infty}} — композиту всех K^{p^{-m}} (т. н. критерий Маклейна)

Литература[править | править вики-текст]