Сепарабельное расширение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепара́бельное расшире́ние — алгебраическое расширение поля E \subset  K, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов α, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f'(x) должна быть по вышеуказанному ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики p.

Для конечных расширений имеем следующую теорему:

Если KÌ EÌ K*, где K* — алгебраическое замыкание поля К, то E сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов σ E в алгебраическое замыкание K* над K равно степени [E:K]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [E:K] и называется сепарабельной степенью [E:K]s (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений[править | править вики-текст]

Пусть KÌ EÌ F. Если EÉ K и FÉ E сепарабельны, то и FÉ K сепарабельно. Обратно, если FÉ K сепарабельно, то и EÉ K и FÉ E сепарабельны.

Если EÉ K сепарабельно, то для любого расширения FÉ K (если F и E содержатся в каком-нибудь поле) композит полей EF является сепарабельным расширением K.

Теорема о примитивном элементе:

Если E=K(α12…αn), где α1 алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над K, а α2…αn — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент θ, что E=K(θ) (т. н. примитивный элемент).

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения[править | править вики-текст]

Вначале введём понятие линейной свободы двух расширений EÉ K и LÉ K. E называется линейно свободным от L над K, если любое конечное множество элементов E линейно независимое над K остаётся линейно независимым и над L. Легко доказывается симметричность этого определения: если E линейно свободно от L над K, то и наоборот, L линейно свободно от E над K.

Обозначим K^{p^{-m}} — расширение поля, порождённое присоединением всех корней степени pm из элементов K. Расширение E над K называется сепарабельным, если E для некоторого натурального m линейно свободно от K^{p^{-m}} над K. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. Можно доказать, что от числа m данное определение не зависит и равносильно линейной свободе E и K^{p^{-\infty}} — композиту всех K^{p^{-m}} (т. н. критерий Маклейна)

Литература[править | править вики-текст]