Сепарабельное расширение

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля $E\supset K$, состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов $\alpha$, минимальный аннулятор $f(x)$ над $K$ для которых не имеет кратных корней. Производная $f'(x)$ должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики $p$.

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если $K\subset E\subset K^{*}$, где $K^{*}$ — алгебраическое замыкание поля $K$, то $E$ сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов $\sigma$ поля $E$ в алгебраическое замыкание $K^{*}$ над $K$ равно степени $[E:K]$. В случае несепарабельных расширений это число является делителем $[E:K]$ и называется сепарабельной степенью $[E:K]_{s}$ (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений

Если расширения $E\supseteq K$ и $F\supseteq E$ сепарабельны, то и расширение $F\supseteq K$ сепарабельно. Обратно, если $F\supseteq K$ сепарабельно, то и $E\subseteq K$ и $F\subseteq E$ сепарабельны.

Если расширение $E\supseteq K$ сепарабельно, то для любого расширения $F\supseteq K$ (если $F$ и $E$ содержатся в каком-нибудь поле) композит полей $EF$ является сепарабельным расширением $K$.

Теорема о примитивном элементе: если $E=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})$, где $\alpha _{1}$ алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над $K$, а $\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}$ — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент $\theta$ (называемый примитивным элементом), что $E=K(\theta )$.

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения

Расширение $E\supseteq K$ называется линейно свободным от $L\supseteq K$, если любое конечное множество элементов $E$ линейно независимое над $K$ остаётся линейно независимым и над $L$. Данное определение симметрично: если $E$ линейно свободно от $L$ над $K$, то и наоборот, $L$ линейно свободно от $E$ над $K$.

Расширение (не обязательно алгебраическое) $E$ над полем $K$ называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального $m$ линейно свободно от расширения $K^{p^{-m}}$ — порождённого присоединением всех корней степени $p^{m}$ из элементов $K$. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа $m$ данное определение не зависит и равносильно линейной свободе $E$ от $K^{p^{-\infty }}$ — композита всех $K^{p^{-m}}$ (критерий Маклейна).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра . — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: Иностранная литература, 1963. — Т. 1 .
• Ленг С. Алгебра . — М.: Мир, 1967.