Теорема Сохоцкого — Племеля

Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши

${\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}},$

определяет две аналитические функции от z, φ_i внутри C и φ_e снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши ${\mathcal {P}}$ интеграла:

$\phi _{i}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}+{\frac {1}{2}}\varphi (z),$

$\phi _{e}(z)={\frac {1}{2\pi i}}{\mathcal {P}}\int _{C}{\frac {\varphi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}}-{\frac {1}{2}}\varphi (z).$

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.

Версия для вещественной прямой

Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b. Тогда

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi f(0)+{\mathcal {P}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x}}\,dx,$

где ${\mathcal {P}}$ обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой

Простое доказательство состоит в следующем.

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\,dx=\mp i\pi \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}f(x)\,dx+\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{a}^{b}{\frac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}\,{\frac {f(x)}{x}}\,dx.$

Для первого слагаемого, отметим, что ${\tfrac {\varepsilon }{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}$ — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно $\mp i\pi f(0)$.

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор ${\tfrac {x^{2}}{x^{2}+\varepsilon ^{2}}}$ стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике

В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы вида

$\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt),$

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }dE\,\int _{0}^{\infty }dt\,f(E)\exp(-iEt-\varepsilon t)$

$=-i\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E-i\varepsilon }}\,dE=\pi f(0)-i{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(E)}{E}}\,dE,$

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.

См. также

• Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых
• Соотношения Крамерса — Кронига
• Преобразования Гильберта

Литература

• Weinberg, Steven. The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations (англ.). — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-55001-7. Chapter 3.1.
• Merzbacher, Eugen. Quantum Mechanics (неопр.). — Wiley, John & Sons, Inc., 1998. — ISBN 0-471-88702-1. Appendix A, equation (A.19).
• Henrici, Peter. Applied and Computational Complex Analysis, vol. 3 (англ.). — Willey, John & Sons, Inc., 1986.
• Plemelj, Josip. Problems in the sense of Riemann and Klein (англ.). — New York: Interscience Publishers, 1964.
• Gakhov, F. D. (1990), Boundary value problems. Reprint of the 1966 translation, Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Muskhelishvili, N. I. Singular integral equations, boundary problems of function theory and their application to mathematical physics (англ.). — Melbourne: Dept. of Supply and Development, Aeronautical Research Laboratories, 1949.
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
• Sokhotskii, Y. W. On definite integrals and functions used in series expansions (англ.). — St. Petersburg, 1873.