Теорема Хана — Банаха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа: теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты, теорему о разделении выпуклых множеств и теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала и т. п.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты[править | править вики-текст]

Пусть X — линейное, или векторное, пространство над полем действительных чисел \mathbb R и p:X\to \mathbb R — положительно однородный субаддитивный функционал. Для любого линейного подпространства Y линейного пространства X каждый линейный функционал f:Y\to \mathbb R, удовлетворяющий условию

 f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y,

может быть продолжен на все пространство X с сохранением этого неравенства.


Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или супераддитивности функционала p для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: X=\mathbb R, Y=\{0\}, p(x):=-|x|, x\in X, f(0)=0.

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда p — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала[править | править вики-текст]

Всякий линейный ограниченный функционал f, определённый на линейном многообразии Y линейного нормированного пространства X, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы.


Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Для любых двух различных точек линейного нормированного пространства или локально выпуклого пространства существует линейный непрерывный функционал, определённый на всем пространстве, для которого его значения в этих точках различны.


Доказательство[править | править вики-текст]

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть z\in X\setminus Y. Рассмотрим линейное пространство вида:

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Продолжение f на Y_z запишем:

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

где \tilde f(z) — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных y_1, y_2\in Y и a,b>0 выполняется:

f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant
{} \leqslant (a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =
{}= (a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant
 \leqslant a p(y_1-bz) + b p(y_2+az).

Отсюда

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

Как следствие

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant 
\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Определим c\in \R так

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \leqslant
\inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Выполняется равенство

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R.

Определим

\tilde f(z)=c.

Для всех y\in Y и произвольных a\in \R выполняется неравенство:

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

поэтому

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть E является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
  • Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
  • Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

Примечания[править | править вики-текст]