Векторное пространство

Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Линейное, или векторное пространство $L \left( P \right)$ над полем $P$ — это непустое множество $L$, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in L$ ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in L$ и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля $P$), то есть любому элементу $\lambda \in P$ и любому элементу $\mathbf{x} \in L$ ставится в соответствие единственный элемент из $L \left( P \right)$, обозначаемый $\lambda\mathbf{x}\in L(P)$.

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in L$ (коммутативность сложения);
2. $\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L$ (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент $\theta \in L$, что $\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in L$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности $L$ не пусто;
4. для любого $\mathbf{x} \in L$ существует такой элемент $-\mathbf{x} \in L$, что $\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta$ (существование противоположного элемента относительно сложения).
5. $\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
6. $1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}$ (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. $(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}$ (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. $\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества $L$ называют векторами, а элементы поля $P$ — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент $\theta \in L$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. $0\cdot\mathbf{x} = \theta$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
4. Для любого $\mathbf{x} \in L$ противоположный элемент $-\mathbf{x} \in L$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. $(-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
6. $(-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ для любых $\alpha \in P$ и $\mathbf{x} \in L$.
7. $\alpha\cdot\theta = \theta$ для любого $\alpha \in P$.

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $L$ такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определенным в $L$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как $Lat(L)$. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

• $\theta\in K$;
• для всякого вектора $\mathbf{x}\in K$, вектор $\alpha\mathbf{x}$ также принадлежал $K$, при любом $\alpha\in P$;
• для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$, вектор $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ также принадлежал $K$.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

• для всяких векторов $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in K$, вектор $\alpha\mathbf{x}+\beta\mathbf{y}$ также принадлежал $K$ для любых $\alpha, \beta \in P$.

В частности, пространство, состоящее из одного элемента $\{\theta\}$, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство. Сумма подпространств $\{K_i\quad|\quad i \in 1\ldots N\}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов $K_i$:

$\sum_{i=1}^N {K_i}:= \{\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2 + \ldots + \mathbf{x}_N\quad|\quad \mathbf{x}_i \in K_i\quad (i\in 1\ldots N)\}$.

В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.

Базис. Размерность

• Конечная сумма вида

$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$

называется линейной комбинацией элементов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L$ с коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P$.

Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.

• Элементы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому элементу $\theta$. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
• Бесконечное подмножество векторов из $L$ называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса также называют базисными векторами. Свойства базиса:
  • Любые $n$ линейно независимых элементов $n$-мерного пространства образуют базис этого пространства.
  • Любой вектор $\mathbf{x} \in L$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$.

Линейная оболочка

Линейная оболочка $\mathcal L(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $L$ — пересечение всех подпространств $L$, содержащих $X$.

Линейная оболочка является подпространством $L$.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным $X$. Говорят также, что линейная оболочка $\mathcal L(X)$ натянута на множество $X$.

Линейная оболочка $\mathcal L(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$. В частности, если $X$ — конечное множество, то $\mathcal L(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$.

Если $X$ — линейно независимое множество, то оно является базисом $\mathcal L(X)$ и тем самым определяет его размерность.

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций $X\to P$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности $X$.
• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.
• Любое поле является одномерным пространством над собой.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Гильбертово пространство

См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Модуль над кольцом
• Выпуклый функционал
• Линейная независимость
• Конечномерное пространство
• Прямая сумма

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.