Теорема Холево

Теорема Холево — важная ограничивающая теорема в области квантовых вычислений, междисциплинарной области физики и информатики. Её иногда называют границей Холево, поскольку теорема устанавливает верхнюю границу на количество информации, которую можно узнать о квантовом состоянии (доступная информация). Теорему опубликовал Александр Семёнович Холево в 1973 году.

Вводная информация

Как и для других концепций квантовой теории информации, понять суть вопроса легче на примере общения двух людей. Пусть у нас есть Алиса и Боб. У Алисы есть классическая случайная величина X, которая может принимать значения {1, 2, …, n} с соответствующими вероятностями $\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$. Алиса подготавливает квантовое состояние, представленное матрицей плотности $\rho _{X}$, выбранной из множества $\{\rho _{1},\rho _{2},\dots \rho _{n}\}$, и передаёт это состояние Бобу. Целью Боба является поиск значения X, которое осуществляется через измерение состояния $\rho _{X}$, что даёт классический результат, обозначаемый через Y. В этом контексте количество доступной информации, то есть, количество информации, которую Боб может получить посредством переменной X, является максимальным значением взаимной информации I(X:Y) между случайными переменными X и Y по всем возможным измерениям, которые Боб может сделать.

В настоящее время не известно формулы вычисления доступной информации. Имеется, однако, несколько верхних границ, из которых наиболее известна граница Холево, которая выражается следующей теоремой.

Утверждение теоремы

Пусть $\{\rho _{1},\rho _{2},\dots ,\rho _{n}\}$ будет множеством смешанных состояний и пусть $\rho _{X}$ будет одним из этих состояний, извлечённым согласно распределению вероятности $P=\{p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\}$.

Теперь для любого измерения, описываемого элементами POVM (англ. positive operator-valued measure, положительная операторная мера) $\{E_{Y}\}$ и осуществлённого на $\rho =\sum _{X}p_{X}\rho _{X}$, количество доступной информации от переменной X в виде результата измерения Y ограничен сверху следующим образом:

$I(X:Y)\leqslant S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$

где $\rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i}$ ; $S(\cdot )$ является энтропией фон Неймана.

Величина в правой части неравенства называется информацией Холево или величина χ Холево:

$\chi :=S(\rho )-\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i})$.

Доказательство

Для доказательства рассмотрим три квантовые системы с именами $P,Q,M$. При этом $P$ рассматривается как подготовка, $Q$ — как квантовое состояние, подготовленное Алисой и переданное Бобу, а $M$ — как средства измерения полученной информации Боба.

Сложная система $P\otimes Q\otimes M$ в начале находится в состоянии

$\rho ^{PQM}:=\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{x}\otimes |0\rangle \langle 0|$

Состояние Алисы $P$ можно рассматривать так, как если бы Алиса имела значение $x$ для случайной переменной $X$. Тогда состояние подготовки является смешанным состоянием, описываемым матрицей плотности $\sum _{x}p_{x}|x\rangle \langle x|$, квантовое состояние, переданное Бобу, равно $\sum _{x}p_{x}\rho _{x}$, а средства измерения Боба находятся в их начальном или холостом состоянии $|0\rangle$.

Используя известные результаты квантовой теории информации^{[какие?]} можно показать^[как?], что

$S(P';M')\leqslant S(P;Q)$

Также после некоторых алгебраических выкладок можно показать^[как?], что это эквивалентно утверждению теоремы.

Замечания

По существу, граница Холево доказывает, что для n кубит, хотя они могут «нести» большее количество (классической) информации благодаря квантовой суперпозиции, количество классической информации, которую можно извлечь, то есть получить на практике, не превышает n классических (то есть не закодированных квантово) бит. Это удивительно по двум причинам:

1. квантовые вычисления часто настолько более мощные по сравнению с обычными вычислениями, что результаты, показывающие, что они лишь незначительно лучше, или даже хуже обычных техник, выглядят странно;
2. требуется $2^{n}$ комплексных чисел для кодирования кубита, который представляет лишь n бит.

См. также

• Квантовое сверхплотное кодирование