Теорема Хопфа — Ринова

Теорема Хопфа — Ринова — теорема дифференциальной геометрии, доказанная Хайнцем Хопфом и его учеником Вилли Риновым. Опубликована последним в 1931 году.

Формулировка

Для линейно связного риманова многообразия $M$ следующие утверждения эквивалентны:

• $M$ ― полно (то есть риманово многообразие полно как метрическое пространство);
• для каждой точки $p\in M$ экспоненциальное отображение $\exp _{p}:T_{p}\to M$ определено на всем $T_{p}$ (где $T_{p}$ ― касательное пространство к $M$ в точке $p$);
• каждое множество, ограниченное и замкнутое в $M$, компактно.

Следствия

• Любые две точки $p$ и $q$ в линейно связном полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между $p$ и $q$;
• Любая геодезическая в линейно связном полном римановом многообразии продолжается неограниченно.

Вариации и обобщения

• Теорема Хопфа — Ринова верна для пространств с внутренней метрикой, не обязательно римановой (например, финслеровой): если $(X,\rho )$ — локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любое замкнутое ограниченное множество в $(X,\rho )$ компактно. В частности любые две точки пространства $X$ можно соединить кратчайшей.
  • Это утверждение было обобщено на случай несимметричных метрик.

• Теорема Хопфа — Ринова не верна в бесконечномерном случае, а также в случае псевдоримановых многообразий.
  • Более того, существуют компактные лоренцевы многообразия, не являющиеся геодезически полным, например тор Клифтона — Поля.

Литература

• Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
• С. Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия