Теорема Хопфа — Ринова

Теорема Хопфа — Ринова утверждает, что для риманова многообразия $M$ следующие утверждения эквивалентны:

• $M$ ― полно (т.е. риманово многообразие полное как метрическое пространство);
• для каждой точки $p\in M$ экспоненциальное отображение $\exp_p:T_p\to M$ определено на всем $T_p$ (где $T_p$ ― касательное пространство к $M$ в точке $p$);
• каждое ограниченное в $M$ замкнутое множество компактно.

Следствия

• любые две точки p и q в полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между p и q;
• любая геодезическая в полном римановом многообразии неограниченно продолжаема.

Литература

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
• Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.