Локально компактное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Топологическое пространство называется локально компактным, если у каждой его точки существует открытая окрестность, замыкание которой компактно.[1][2][3] Некоторые авторы используют более слабое определение: «локально компактное пространство — топологическое пространство, каждая точка которого имеет компактную окрестность» (открытость окрестности здесь не предполагается).[4][5] В случае хаусдорфова пространства эти определения эквивалентны.

Примеры[править | править исходный текст]

Примеры[править | править исходный текст]

Свойства[править | править исходный текст]

Локально компактное хаусдорфово пространство является вполне регулярным пространством.

Подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно тогда и только тогда, когда существуют замкнутые подмножества A и B, такие что X=A\backslash B. Из этого следует, что плотное подмножество локально компактного хаусдорфова пространства локально компактно тогда и только тогда, когда оно открыто. Более того, если подпространство произвольного хаусдорфова пространства локально компактно, то его можно записать в виде разности двух замкнутых подмножеств; обратное утверждение в этом случае уже неверно.

Факторпространства локально компактных хаусдорфовых пространств являются компактно порождёнными[en]. Обратно, любое компактно порождённое хаусдорфово пространство является факторпространством некоторого локально компактного хаусдорфова пространства.

Локально компактные группы[править | править исходный текст]

Определение локальной компактности особенно важно при изучении топологических групп, так как на любой хаусдорфовой локально компактной группе можно ввести меру Хаара, позволяющую интегрировать функции на этой группе. Мера Лебега на R является частным случаем меры Хаара.

Группа, двойственная по Понтрягину к абелевой топологической группе A, локально компактна тогда и только тогда, когда A локально компактна. Более точно, категория локально компактных абелевых групп является самодвойственной относительно двойственности Понтрягина. Локально компактные абелевы группы применяются в гармоническом анализе, один из современных разделов которого основывается на их изучении.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.
  2. П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию.
  3. Ю. Г. Борисович, Н. М. Близняков, Т. М. Фоменко. Введение в топологию. 2-е изд., доп. — М.: Наука. Физматлит., 1995. ISBN 5-02-014118-6.
  4. Kelley, John (1975). General Topology. Springer. ISBN 0-387-90125-6.
  5. Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
  6. О. Я. Виро, О. А. Иванов, Н. Ю. Нецветаев, В. М. Харламов. Элементарная топология. С. 149—151.