Аффинное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании (x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100), если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Аффи́нное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором прямые переходят в прямые.

Определение[править | править вики-текст]

Аффи́нное преобразование f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n} есть преобразование вида

f(x) = M \cdot x + v,

где ~M — обратимая матрица (неособенный аффинор) и v\in \mathbb{R}^{n}.

Комментарий[править | править вики-текст]

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат ~v;
  2. Каждой точке x пространства поставить в соответствие точку f(x), имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x в «старой».

Примеры[править | править вики-текст]

Аффинными преобразованиями являются

Свойства[править | править вики-текст]

  • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
  • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований[править | править вики-текст]

  • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
  • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление[править | править вики-текст]

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f(x) = M \cdot x + v можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

\begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[1]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[2].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел \mathbb{R}.
  • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
  • Аффинные преобразования пространства \mathbb{R}^{n} являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства \mathbb{R}^{n} можно представить как аффинные преобразования пространства \mathbb{R}^{n+1}.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]