Аффинное преобразование

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании $(x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100)$, если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Аффи́нное преобразование (от лат. affinis — соприкасающийся, близкий, смежный) — отображение плоскости или пространства в себя, при котором прямые переходят в прямые.

Определение

Аффи́нное преобразование $f:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{n}$ есть преобразование вида

$f(x) = M \cdot x + v,$

где $~M$ — обратимая матрица и $v\in \mathbb{R}^{n}$.

Комментарий

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат $~v$;
2. Каждой точке $x$ пространства поставить в соответствие точку $f(x)$, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и $x$ в «старой».

Примеры

Аффинными преобразованиями являются

• движения;
• преобразования подобия.

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${n}\ge 2$, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование $f(x) = M \cdot x + v$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

$\begin{pmatrix} f(x) \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} M & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ 1 \end{pmatrix}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел $\mathbb{R}$.
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства $\mathbb{R}^{n}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства $\mathbb{R}^{n}$ можно представить как аффинные преобразования пространства $\mathbb{R}^{n+1}$.

См. также

• Способ «резинового листа»

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление