Теория полей классов

Теория полей классов — теория, дающая описание всех абелевых расширений (конечных расширений Галуа с абелевой группой Галуа) поля $k$, принадлежащего к одному из следующих типов:

1. $k$ — поле алгебраических чисел, то есть конечное расширение поля $\mathbb Q$;
2. $k$ — конечное расширение поля p-адических чисел
3. $k$ — поле алгебраических функций одной переменной над конечным полем;
4. $k$ — поле формальных степенных рядов над конечным полем.

Основные теоремы теории полей классов были сформулированы и доказаны в частных случаях Кронекером, Вебером (Weber), Гильбертом и другими.

Основы теории полей классов

Для поля k существует максимальное абелево расширение A. Это расширение бесконечной степени. (Например, для поля рациональных чисел Q максимальное абелево расширение содержит все комплексные корни из единицы.) Группа Галуа G расширения A поля k является про-конечной группой, также абелевой. Основная цель теории - описать группу G в терминах поля k.

Важный результат теории полей классов. Группа G канонически изоморфна группе C_K of K классов иделей (см. статью "Adelic algebraic group" в английской Wiki).

См. также

• Шевалле, Клод